MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zclmncvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zclmncvs 22851
Description: The set of integers (as a subring of itself) is a complex module, but not a complex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
zclmncvs.z 𝑍 = (ringLMod‘ℤring)
Assertion
Ref Expression
zclmncvs (𝑍 ∈ ℂMod ∧ 𝑍 ∉ ℂVec)

Proof of Theorem zclmncvs
StepHypRef Expression
1 zringring 19735 . . . . 5 ring ∈ Ring
2 rlmlmod 19119 . . . . 5 (ℤring ∈ Ring → (ringLMod‘ℤring) ∈ LMod)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (ringLMod‘ℤring) ∈ LMod
4 rlmsca 19114 . . . . . 6 (ℤring ∈ Ring → ℤring = (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)))
51, 4ax-mp 5 . . . . 5 ring = (Scalar‘(ringLMod‘ℤring))
6 df-zring 19733 . . . . 5 ring = (ℂflds ℤ)
75, 6eqtr3i 2650 . . . 4 (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = (ℂflds ℤ)
8 zsubrg 19713 . . . 4 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
9 eqid 2626 . . . . 5 (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = (Scalar‘(ringLMod‘ℤring))
109isclmi 22780 . . . 4 (((ringLMod‘ℤring) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = (ℂflds ℤ) ∧ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod)
113, 7, 8, 10mp3an 1421 . . 3 (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod
12 zclmncvs.z . . . 4 𝑍 = (ringLMod‘ℤring)
1312eleq1i 2695 . . 3 (𝑍 ∈ ℂMod ↔ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod)
1411, 13mpbir 221 . 2 𝑍 ∈ ℂMod
15 zringndrg 19752 . . . . . . . 8 ring ∉ DivRing
1615neli 2901 . . . . . . 7 ¬ ℤring ∈ DivRing
174eqcomd 2632 . . . . . . . . 9 (ℤring ∈ Ring → (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = ℤring)
181, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = ℤring
1918eleq1i 2695 . . . . . . 7 ((Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing ↔ ℤring ∈ DivRing)
2016, 19mtbir 313 . . . . . 6 ¬ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing
2120intnan 959 . . . . 5 ¬ ((ringLMod‘ℤring) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing)
229islvec 19018 . . . . 5 ((ringLMod‘ℤring) ∈ LVec ↔ ((ringLMod‘ℤring) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing))
2321, 22mtbir 313 . . . 4 ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec
2423olci 406 . . 3 (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec)
25 df-nel 2900 . . . 4 (𝑍 ∉ ℂVec ↔ ¬ 𝑍 ∈ ℂVec)
26 ianor 509 . . . . . 6 (¬ ((ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∧ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec) ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
27 elin 3779 . . . . . 6 ((ringLMod‘ℤring) ∈ (ℂMod ∩ LVec) ↔ ((ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∧ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
2826, 27xchnxbir 323 . . . . 5 (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ (ℂMod ∩ LVec) ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
29 df-cvs 22827 . . . . . 6 ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
3012, 29eleq12i 2697 . . . . 5 (𝑍 ∈ ℂVec ↔ (ringLMod‘ℤring) ∈ (ℂMod ∩ LVec))
3128, 30xchnxbir 323 . . . 4 𝑍 ∈ ℂVec ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
3225, 31bitri 264 . . 3 (𝑍 ∉ ℂVec ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
3324, 32mpbir 221 . 2 𝑍 ∉ ℂVec
3414, 33pm3.2i 471 1 (𝑍 ∈ ℂMod ∧ 𝑍 ∉ ℂVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wnel 2899  cin 3559  cfv 5850  (class class class)co 6605  cz 11322  s cress 15777  Scalarcsca 15860  Ringcrg 18463  DivRingcdr 18663  SubRingcsubrg 18692  LModclmod 18779  LVecclvec 19016  ringLModcrglmod 19083  fldccnfld 19660  ringzring 19732  ℂModcclm 22765  ℂVecccvs 22826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-gz 15553  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-subg 17507  df-cmn 18111  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-cring 18466  df-oppr 18539  df-dvdsr 18557  df-unit 18558  df-invr 18588  df-dvr 18599  df-drng 18665  df-subrg 18694  df-lmod 18781  df-lvec 19017  df-sra 19086  df-rgmod 19087  df-cnfld 19661  df-zring 19733  df-clm 22766  df-cvs 22827
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator