Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zclmncvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zclmncvs 22994
 Description: The ring of integers as left module over itself is a subcomplex module, but not a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
zclmncvs.z 𝑍 = (ringLMod‘ℤring)
Assertion
Ref Expression
zclmncvs (𝑍 ∈ ℂMod ∧ 𝑍 ∉ ℂVec)

Proof of Theorem zclmncvs
StepHypRef Expression
1 zringring 19869 . . . . 5 ring ∈ Ring
2 rlmlmod 19253 . . . . 5 (ℤring ∈ Ring → (ringLMod‘ℤring) ∈ LMod)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (ringLMod‘ℤring) ∈ LMod
4 rlmsca 19248 . . . . . 6 (ℤring ∈ Ring → ℤring = (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)))
51, 4ax-mp 5 . . . . 5 ring = (Scalar‘(ringLMod‘ℤring))
6 df-zring 19867 . . . . 5 ring = (ℂflds ℤ)
75, 6eqtr3i 2675 . . . 4 (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = (ℂflds ℤ)
8 zsubrg 19847 . . . 4 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
9 eqid 2651 . . . . 5 (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = (Scalar‘(ringLMod‘ℤring))
109isclmi 22923 . . . 4 (((ringLMod‘ℤring) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = (ℂflds ℤ) ∧ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod)
113, 7, 8, 10mp3an 1464 . . 3 (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod
12 zclmncvs.z . . . 4 𝑍 = (ringLMod‘ℤring)
1312eleq1i 2721 . . 3 (𝑍 ∈ ℂMod ↔ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod)
1411, 13mpbir 221 . 2 𝑍 ∈ ℂMod
15 zringndrg 19886 . . . . . . . 8 ring ∉ DivRing
1615neli 2928 . . . . . . 7 ¬ ℤring ∈ DivRing
174eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 (ℤring ∈ Ring → (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = ℤring)
181, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = ℤring
1918eleq1i 2721 . . . . . . 7 ((Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing ↔ ℤring ∈ DivRing)
2016, 19mtbir 312 . . . . . 6 ¬ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing
2120intnan 980 . . . . 5 ¬ ((ringLMod‘ℤring) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing)
229islvec 19152 . . . . 5 ((ringLMod‘ℤring) ∈ LVec ↔ ((ringLMod‘ℤring) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing))
2321, 22mtbir 312 . . . 4 ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec
2423olci 405 . . 3 (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec)
25 df-nel 2927 . . . 4 (𝑍 ∉ ℂVec ↔ ¬ 𝑍 ∈ ℂVec)
26 ianor 508 . . . . . 6 (¬ ((ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∧ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec) ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
27 elin 3829 . . . . . 6 ((ringLMod‘ℤring) ∈ (ℂMod ∩ LVec) ↔ ((ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∧ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
2826, 27xchnxbir 322 . . . . 5 (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ (ℂMod ∩ LVec) ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
29 df-cvs 22970 . . . . . 6 ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
3012, 29eleq12i 2723 . . . . 5 (𝑍 ∈ ℂVec ↔ (ringLMod‘ℤring) ∈ (ℂMod ∩ LVec))
3128, 30xchnxbir 322 . . . 4 𝑍 ∈ ℂVec ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
3225, 31bitri 264 . . 3 (𝑍 ∉ ℂVec ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
3324, 32mpbir 221 . 2 𝑍 ∉ ℂVec
3414, 33pm3.2i 470 1 (𝑍 ∈ ℂMod ∧ 𝑍 ∉ ℂVec)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∉ wnel 2926   ∩ cin 3606  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℤcz 11415   ↾s cress 15905  Scalarcsca 15991  Ringcrg 18593  DivRingcdr 18795  SubRingcsubrg 18824  LModclmod 18911  LVecclvec 19150  ringLModcrglmod 19217  ℂfldccnfld 19794  ℤringzring 19866  ℂModcclm 22908  ℂVecccvs 22969 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-gz 15681  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lvec 19151  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-clm 22909  df-cvs 22970 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator