MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zeo 11298
Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
zeo (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))

Proof of Theorem zeo
StepHypRef Expression
1 elz 11215 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 oveq1 6534 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) = (0 / 2))
3 2cn 10941 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
4 2ne0 10963 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
53, 4div0i 10611 . . . . . . . 8 (0 / 2) = 0
6 0z 11224 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
75, 6eqeltri 2684 . . . . . . 7 (0 / 2) ∈ ℤ
82, 7syl6eqel 2696 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
98pm2.24d 146 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
109adantl 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 = 0) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
11 nnz 11235 . . . . . . 7 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
1211con3i 149 . . . . . 6 (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
13 nneo 11296 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
1413biimprd 237 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
1514con1d 138 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
16 nnz 11235 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
1712, 15, 16syl56 35 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
1817adantl 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
19 recn 9883 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
20 divneg 10571 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
213, 4, 20mp3an23 1408 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
2219, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
2322eleq1d 2672 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (-(𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ))
24 nnnegz 11216 . . . . . . . . 9 (-(𝑁 / 2) ∈ ℕ → --(𝑁 / 2) ∈ ℤ)
2523, 24syl6bir 243 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ → --(𝑁 / 2) ∈ ℤ))
2619halfcld 11127 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
2726negnegd 10235 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → --(𝑁 / 2) = (𝑁 / 2))
2827eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (--(𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
2925, 28sylibd 228 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
3029adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
3130con3d 147 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ¬ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ))
32 nneo 11296 . . . . . . . 8 (-𝑁 ∈ ℕ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
3332biimprd 237 . . . . . . 7 (-𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (-𝑁 / 2) ∈ ℕ))
3433con1d 138 . . . . . 6 (-𝑁 ∈ ℕ → (¬ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
35 nnz 11235 . . . . . . 7 (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
36 peano2zm 11256 . . . . . . . . . 10 (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
37 ax-1cn 9851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
3837, 3negsubdi2i 10219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -(1 − 2) = (2 − 1)
39 2m1e1 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 − 1) = 1
4038, 39eqtr2i 2633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = -(1 − 2)
4137, 3subcli 10209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 − 2) ∈ ℂ
4237, 41negcon2i 10216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = -(1 − 2) ↔ (1 − 2) = -1)
4340, 42mpbi 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 − 2) = -1
4443oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑁 + (1 − 2)) = (-𝑁 + -1)
45 negcl 10133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℂ → -𝑁 ∈ ℂ)
46 addsubass 10143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
4737, 3, 46mp3an23 1408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
4845, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
49 negdi 10190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
5037, 49mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
5144, 48, 503eqtr4a 2670 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = -(𝑁 + 1))
5251oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
53 peano2cn 10060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑁 ∈ ℂ → (-𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5445, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℂ → (-𝑁 + 1) ∈ ℂ)
55 2cnne0 11092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
56 divsubdir 10573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
573, 55, 56mp3an23 1408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝑁 + 1) ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
5854, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
59 2div2e1 11000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 / 2) = 1
6059eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (2 / 2)
6160oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2))
6258, 61syl6reqr 2663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = (((-𝑁 + 1) − 2) / 2))
63 peano2cn 10060 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
64 divneg 10571 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
653, 4, 64mp3an23 1408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + 1) ∈ ℂ → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
6663, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
6752, 62, 663eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = -((𝑁 + 1) / 2))
6819, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = -((𝑁 + 1) / 2))
6968eleq1d 2672 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → ((((-𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7036, 69syl5ib 233 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
71 znegcl 11248 . . . . . . . . 9 (-((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → --((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
7270, 71syl6 34 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → --((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
73 peano2re 10061 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
7473recnd 9925 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
7574halfcld 11127 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℂ)
7675negnegd 10235 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → --((𝑁 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
7776eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (--((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7872, 77sylibd 228 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7935, 78syl5 33 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
8034, 79sylan9r 688 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
8131, 80syld 46 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
8210, 18, 813jaodan 1386 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
831, 82sylbi 206 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
8483orrd 392 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383  w3o 1030   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  (class class class)co 6527  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796  cmin 10118  -cneg 10119   / cdiv 10536  cn 10870  2c2 10920  cz 11213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-n0 11143  df-z 11214
This theorem is referenced by:  zeo2  11299  iseralt  14212  mod2eq1n2dvds  14858  mulsucdiv2z  14864  abssinper  24019  atantayl2  24410  basellem3  24554  chtub  24682  lgseisenlem1  24845  sumnnodd  38491  zeoALTV  39914  nn0eo  42108
  Copyright terms: Public domain W3C validator