MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zexpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zexpcl 13089
Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
zexpcl ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsscn 11597 . 2 ℤ ⊆ ℂ
2 zmulcl 11638 . 2 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3 1z 11619 . 2 1 ∈ ℤ
41, 2, 3expcllem 13085 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139  (class class class)co 6814  0cn0 11504  cz 11589  cexp 13074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-seq 13016  df-exp 13075
This theorem is referenced by:  zsqcl  13148  modexp  13213  climcndslem1  14800  iddvdsexp  15227  dvdsexp  15271  3dvds  15274  3dvdsOLD  15275  prmdvdsexp  15649  rpexp  15654  rpexp12i  15656  phiprmpw  15703  eulerthlem2  15709  fermltl  15711  prmdiv  15712  prmdiveq  15713  odzcllem  15719  odzdvds  15722  odzphi  15723  vfermltlALT  15729  powm2modprm  15730  pcneg  15800  pcprmpw  15809  prmpwdvds  15830  pockthlem  15831  dyaddisjlem  23583  aalioulem1  24306  aaliou3lem6  24322  muf  25086  dvdsppwf1o  25132  mersenne  25172  lgslem1  25242  lgsval2lem  25252  lgsvalmod  25261  lgsmod  25268  lgsdirprm  25276  lgsne0  25280  lgsqrlem1  25291  gausslemma2dlem7  25318  gausslemma2d  25319  lgseisenlem2  25321  lgseisenlem4  25323  m1lgs  25333  mdetlap  30228  oddpwdc  30746  dvdspw  31964  nn0prpwlem  32644  nn0prpw  32645  knoppndvlem2  32831  jm2.18  38075  jm2.22  38082  jm2.23  38083  jm2.20nn  38084  inductionexd  38973  etransclem3  40975  etransclem7  40979  etransclem10  40982  etransclem24  40996  etransclem27  40999  etransclem35  41007  2pwp1prm  42031  sfprmdvdsmersenne  42048  lighneallem4b  42054  lighneallem4  42055  proththd  42059  41prothprmlem2  42063  nnpw2evenALTV  42139  pw2m1lepw2m1  42838  nnpw2blenfzo  42903  dignn0fr  42923  digexp  42929  dignn0flhalflem1  42937
  Copyright terms: Public domain W3C validator