MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zexpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zexpcl 12695
Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
zexpcl ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsscn 11221 . 2 ℤ ⊆ ℂ
2 zmulcl 11262 . 2 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3 1z 11243 . 2 1 ∈ ℤ
41, 2, 3expcllem 12691 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976  (class class class)co 6527  0cn0 11142  cz 11213  cexp 12680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-seq 12622  df-exp 12681
This theorem is referenced by:  zsqcl  12754  modexp  12819  climcndslem1  14369  iddvdsexp  14792  dvdsexp  14836  3dvds  14839  3dvdsOLD  14840  prmdvdsexp  15214  rpexp  15219  rpexp12i  15221  phiprmpw  15268  eulerthlem2  15274  fermltl  15276  prmdiv  15277  prmdiveq  15278  odzcllem  15284  odzdvds  15287  odzphi  15288  vfermltlALT  15294  powm2modprm  15295  pcneg  15365  pcprmpw  15374  prmpwdvds  15395  pockthlem  15396  dyaddisjlem  23114  aalioulem1  23836  aaliou3lem6  23852  muf  24611  dvdsppwf1o  24657  mersenne  24697  lgslem1  24767  lgslem4  24770  lgsval2lem  24777  lgsvalmod  24786  lgsmod  24793  lgsdirprm  24801  lgsne0  24805  lgsqrlem1  24816  gausslemma2dlem7  24843  gausslemma2d  24844  lgseisenlem2  24846  lgseisenlem4  24848  m1lgs  24858  mdetlap  29060  oddpwdc  29577  dvdspw  30723  nn0prpwlem  31321  nn0prpw  31322  knoppndvlem2  31508  jm2.18  36397  jm2.22  36404  jm2.23  36405  jm2.20nn  36406  inductionexd  37297  etransclem3  38954  etransclem7  38958  etransclem10  38961  etransclem24  38975  etransclem27  38978  etransclem35  38986  2pwp1prm  39866  sfprmdvdsmersenne  39883  lighneallem4b  39889  lighneallem4  39890  proththd  39894  41prothprmlem2  39898  nnpw2evenALTV  39974  pw2m1lepw2m1  42126  nnpw2blenfzo  42195  dignn0fr  42215  digexp  42221  dignn0flhalflem1  42229
  Copyright terms: Public domain W3C validator