Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zextle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zextle 11488
 Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
zextle ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zextle
StepHypRef Expression
1 zre 11419 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
21leidd 10632 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀𝑀)
32adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀𝑀)
4 breq1 4688 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘𝑀𝑀𝑀))
5 breq1 4688 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘𝑁𝑀𝑁))
64, 5bibi12d 334 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → ((𝑘𝑀𝑘𝑁) ↔ (𝑀𝑀𝑀𝑁)))
76rspcva 3338 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → (𝑀𝑀𝑀𝑁))
83, 7mpbid 222 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀𝑁)
98adantlr 751 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀𝑁)
10 zre 11419 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
1110leidd 10632 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑁𝑁)
13 breq1 4688 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘𝑀𝑁𝑀))
14 breq1 4688 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘𝑁𝑁𝑁))
1513, 14bibi12d 334 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘𝑀𝑘𝑁) ↔ (𝑁𝑀𝑁𝑁)))
1615rspcva 3338 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → (𝑁𝑀𝑁𝑁))
1712, 16mpbird 247 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑁𝑀)
1817adantll 750 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑁𝑀)
199, 18jca 553 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
2019ex 449 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁) → (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
21 letri3 10161 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
221, 10, 21syl2an 493 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
2320, 22sylibrd 249 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
24233impia 1280 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   class class class wbr 4685  ℝcr 9973   ≤ cle 10113  ℤcz 11415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-neg 10307  df-z 11416 This theorem is referenced by:  zextlt  11489
 Copyright terms: Public domain W3C validator