Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zfbas 21605
 Description: The set of upper sets of integers is a filter base on ℤ, which corresponds to convergence of sequences on ℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
zfbas ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ)

Proof of Theorem zfbas
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 11634 . . 3 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2 frn 6012 . . 3 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ran ℤ ⊆ 𝒫 ℤ)
31, 2ax-mp 5 . 2 ran ℤ ⊆ 𝒫 ℤ
4 ffn 6004 . . . . . 6 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
51, 4ax-mp 5 . . . . 5 Fn ℤ
6 1z 11352 . . . . 5 1 ∈ ℤ
7 fnfvelrn 6313 . . . . 5 ((ℤ Fn ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℤ‘1) ∈ ran ℤ)
85, 6, 7mp2an 707 . . . 4 (ℤ‘1) ∈ ran ℤ
98ne0ii 3904 . . 3 ran ℤ ≠ ∅
10 uzid 11646 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ (ℤ𝑥))
11 n0i 3901 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ𝑥) → ¬ (ℤ𝑥) = ∅)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (ℤ𝑥) = ∅)
1312nrex 2999 . . . . 5 ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ𝑥) = ∅
14 fvelrnb 6201 . . . . . 6 (ℤ Fn ℤ → (∅ ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ𝑥) = ∅))
155, 14ax-mp 5 . . . . 5 (∅ ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ𝑥) = ∅)
1613, 15mtbir 313 . . . 4 ¬ ∅ ∈ ran ℤ
1716nelir 2902 . . 3 ∅ ∉ ran ℤ
18 uzin2 14013 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ) → (𝑥𝑦) ∈ ran ℤ)
19 vex 3194 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
2019inex1 4764 . . . . . 6 (𝑥𝑦) ∈ V
2120pwid 4150 . . . . 5 (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 (𝑥𝑦)
22 inelcm 4009 . . . . 5 (((𝑥𝑦) ∈ ran ℤ ∧ (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 (𝑥𝑦)) → (ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)
2318, 21, 22sylancl 693 . . . 4 ((𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ) → (ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)
2423rgen2a 2976 . . 3 𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ(ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅
259, 17, 243pm3.2i 1237 . 2 (ran ℤ ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ ran ℤ ∧ ∀𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ(ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)
26 zex 11331 . . 3 ℤ ∈ V
27 isfbas 21538 . . 3 (ℤ ∈ V → (ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ) ↔ (ran ℤ ⊆ 𝒫 ℤ ∧ (ran ℤ ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ ran ℤ ∧ ∀𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ(ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
2826, 27ax-mp 5 . 2 (ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ) ↔ (ran ℤ ⊆ 𝒫 ℤ ∧ (ran ℤ ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ ran ℤ ∧ ∀𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ(ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
293, 25, 28mpbir2an 954 1 ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ≠ wne 2796   ∉ wnel 2899  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3191   ∩ cin 3559   ⊆ wss 3560  ∅c0 3896  𝒫 cpw 4135  ran crn 5080   Fn wfn 5845  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  1c1 9882  ℤcz 11322  ℤ≥cuz 11631  fBascfbas 19648 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-z 11323  df-uz 11632  df-fbas 19657 This theorem is referenced by:  uzfbas  21607
 Copyright terms: Public domain W3C validator