Theorem zfcndac 4951

Description: Axiom of Choice, reproved from conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
zfcndac	⊢ ∃y∀z∀w((z ∈ w ⋀ w ∈ x) → ∃v∀u(∃t((u ∈ w ⋀ w ∈ t) ⋀ (u ∈ t ⋀ t ∈ y)) ↔ u = v))

Distinct variable group:   x,y,z,w,v,u,t

Proof of Theorem zfcndac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axacnd 4944	. . 3 ⊢ ∃y∀z∀w(∀y(z ∈ w ⋀ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (z ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ z = x))
2		ax-17 969	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ w ⋀ w ∈ x) → ∀y(z ∈ w ⋀ w ∈ x))
3	2	19.3 1029	. . . . . 6 ⊢ (∀y(z ∈ w ⋀ w ∈ x) ↔ (z ∈ w ⋀ w ∈ x))
4	3	imbi1i 186	. . . . 5 ⊢ ((∀y(z ∈ w ⋀ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (z ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ z = x)) ↔ ((z ∈ w ⋀ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (z ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ z = x)))
5	4	2albii 998	. . . 4 ⊢ (∀z∀w(∀y(z ∈ w ⋀ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (z ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ z = x)) ↔ ∀z∀w((z ∈ w ⋀ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (z ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ z = x)))
6	5	exbii 1049	. . 3 ⊢ (∃y∀z∀w(∀y(z ∈ w ⋀ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (z ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ z = x)) ↔ ∃y∀z∀w((z ∈ w ⋀ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (z ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ z = x)))
7	1, 6	mpbi 189	. 2 ⊢ ∃y∀z∀w((z ∈ w ⋀ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (z ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ z = x))
8		equequ2 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v = x → (u = v ↔ u = x))
9	8	bibi2d 617	. . . . . . . . 9 ⊢ (v = x → ((∃t((u ∈ w ⋀ w ∈ t) ⋀ (u ∈ t ⋀ t ∈ y)) ↔ u = v) ↔ (∃t((u ∈ w ⋀ w ∈ t) ⋀ (u ∈ t ⋀ t ∈ y)) ↔ u = x)))
10		elequ2 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (t = x → (w ∈ t ↔ w ∈ x))
11	10	anbi2d 615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (t = x → ((u ∈ w ⋀ w ∈ t) ↔ (u ∈ w ⋀ w ∈ x)))
12		elequ2 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (t = x → (u ∈ t ↔ u ∈ x))
13		elequ1 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (t = x → (t ∈ y ↔ x ∈ y))
14	12, 13	anbi12d 627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (t = x → ((u ∈ t ⋀ t ∈ y) ↔ (u ∈ x ⋀ x ∈ y)))
15	11, 14	anbi12d 627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (t = x → (((u ∈ w ⋀ w ∈ t) ⋀ (u ∈ t ⋀ t ∈ y)) ↔ ((u ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (u ∈ x ⋀ x ∈ y))))
16	15	cbvexv 1313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃t((u ∈ w ⋀ w ∈ t) ⋀ (u ∈ t ⋀ t ∈ y)) ↔ ∃x((u ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (u ∈ x ⋀ x ∈ y)))
17	16	bibi1i 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃t((u ∈ w ⋀ w ∈ t) ⋀ (u ∈ t ⋀ t ∈ y)) ↔ u = x) ↔ (∃x((u ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (u ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ u = x))
18	9, 17	syl6bb 535	. . . . . . . 8 ⊢ (v = x → ((∃t((u ∈ w ⋀ w ∈ t) ⋀ (u ∈ t ⋀ t ∈ y)) ↔ u = v) ↔ (∃x((u ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (u ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ u = x)))
19	18	albidv 1276	. . . . . . 7 ⊢ (v = x → (∀u(∃t((u ∈ w ⋀ w ∈ t) ⋀ (u ∈ t ⋀ t ∈ y)) ↔ u = v) ↔ ∀u(∃x((u ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (u ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ u = x)))
20		elequ1 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (u = z → (u ∈ w ↔ z ∈ w))
21	20	anbi1d 616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (u = z → ((u ∈ w ⋀ w ∈ x) ↔ (z ∈ w ⋀ w ∈ x)))
22		elequ1 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (u = z → (u ∈ x ↔ z ∈ x))
23	22	anbi1d 616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (u = z → ((u ∈ x ⋀ x ∈ y) ↔ (z ∈ x ⋀ x ∈ y)))
24	21, 23	anbi12d 627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (u = z → (((u ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (u ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ ((z ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (z ∈ x ⋀ x ∈ y))))
25	24	exbidv 1277	. . . . . . . . 9 ⊢ (u = z → (∃x((u ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (u ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ ∃x((z ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (z ∈ x ⋀ x ∈ y))))
26		equequ1 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ (u = z → (u = x ↔ z = x))
27	25, 26	bibi12d 628	. . . . . . . 8 ⊢ (u = z → ((∃x((u ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (u ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ u = x) ↔ (∃x((z ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (z ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ z = x)))
28	27	cbvalv 1312	. . . . . . 7 ⊢ (∀u(∃x((u ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (u ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ u = x) ↔ ∀z(∃x((z ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (z ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ z = x))
29	19, 28	syl6bb 535	. . . . . 6 ⊢ (v = x → (∀u(∃t((u ∈ w ⋀ w ∈ t) ⋀ (u ∈ t ⋀ t ∈ y)) ↔ u = v) ↔ ∀z(∃x((z ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (z ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ z = x)))
30	29	cbvexv 1313	. . . . 5 ⊢ (∃v∀u(∃t((u ∈ w ⋀ w ∈ t) ⋀ (u ∈ t ⋀ t ∈ y)) ↔ u = v) ↔ ∃x∀z(∃x((z ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (z ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ z = x))
31	30	imbi2i 185	. . . 4 ⊢ (((z ∈ w ⋀ w ∈ x) → ∃v∀u(∃t((u ∈ w ⋀ w ∈ t) ⋀ (u ∈ t ⋀ t ∈ y)) ↔ u = v)) ↔ ((z ∈ w ⋀ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (z ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ z = x)))
32	31	2albii 998	. . 3 ⊢ (∀z∀w((z ∈ w ⋀ w ∈ x) → ∃v∀u(∃t((u ∈ w ⋀ w ∈ t) ⋀ (u ∈ t ⋀ t ∈ y)) ↔ u = v)) ↔ ∀z∀w((z ∈ w ⋀ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (z ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ z = x)))
33	32	exbii 1049	. 2 ⊢ (∃y∀z∀w((z ∈ w ⋀ w ∈ x) → ∃v∀u(∃t((u ∈ w ⋀ w ∈ t) ⋀ (u ∈ t ⋀ t ∈ y)) ↔ u = v)) ↔ ∃y∀z∀w((z ∈ w ⋀ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ⋀ w ∈ x) ⋀ (z ∈ x ⋀ x ∈ y)) ↔ z = x)))
34	7, 33	mpbir 190	1 ⊢ ∃y∀z∀w((z ∈ w ⋀ w ∈ x) → ∃v∀u(∃t((u ∈ w ⋀ w ∈ t) ⋀ (u ∈ t ⋀ t ∈ y)) ↔ u = v))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223  ∀wal 952   = wceq 954   ∈ wcel 956  ∃wex 978

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-15 1358  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-reg 4573  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-eprel 2827  df-fr 2912

Copyright terms: Public domain