Theorem zfcndinf 4950

Description: Axiom of Infinity, reproved from conditionless ZFC axioms. Since we have already reproved Extensionality, Replacement, and Power Sets, we are justified in referencing theorem el 2746 in the proof.

Assertion

Ref	Expression
zfcndinf	⊢ ∃y(x ∈ y ⋀ ∀z(z ∈ y → ∃w(z ∈ w ⋀ w ∈ y)))

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem zfcndinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		el 2746	. . 3 ⊢ ∃w x ∈ w
2		ax-17 969	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ y → ∀w x ∈ y)
3		hbe1 1014	. . . . . . . 8 ⊢ (∃w(x ∈ w ⋀ w ∈ y) → ∀w∃w(x ∈ w ⋀ w ∈ y))
4	2, 3	hbim 1005	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ y → ∃w(x ∈ w ⋀ w ∈ y)) → ∀w(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ⋀ w ∈ y)))
5	4	hbal 1003	. . . . . 6 ⊢ (∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ⋀ w ∈ y)) → ∀w∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ⋀ w ∈ y)))
6	2, 5	hban 1007	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ y ⋀ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ⋀ w ∈ y))) → ∀w(x ∈ y ⋀ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ⋀ w ∈ y))))
7	6	hbex 1004	. . . 4 ⊢ (∃y(x ∈ y ⋀ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ⋀ w ∈ y))) → ∀w∃y(x ∈ y ⋀ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ⋀ w ∈ y))))
8		ax-17 969	. . . . 5 ⊢ (x ∈ w → ∀y x ∈ w)
9		axinfnd 4938	. . . . . 6 ⊢ ∃y(x ∈ w → (x ∈ y ⋀ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ⋀ w ∈ y))))
10	9	19.35i 1074	. . . . 5 ⊢ (∀y x ∈ w → ∃y(x ∈ y ⋀ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ⋀ w ∈ y))))
11	8, 10	syl 10	. . . 4 ⊢ (x ∈ w → ∃y(x ∈ y ⋀ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ⋀ w ∈ y))))
12	7, 11	19.23ai 1062	. . 3 ⊢ (∃w x ∈ w → ∃y(x ∈ y ⋀ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ⋀ w ∈ y))))
13	1, 12	ax-mp 7	. 2 ⊢ ∃y(x ∈ y ⋀ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ⋀ w ∈ y)))
14		elequ1 1134	. . . . . 6 ⊢ (z = x → (z ∈ y ↔ x ∈ y))
15		elequ1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (z = x → (z ∈ w ↔ x ∈ w))
16	15	anbi1d 616	. . . . . . 7 ⊢ (z = x → ((z ∈ w ⋀ w ∈ y) ↔ (x ∈ w ⋀ w ∈ y)))
17	16	exbidv 1277	. . . . . 6 ⊢ (z = x → (∃w(z ∈ w ⋀ w ∈ y) ↔ ∃w(x ∈ w ⋀ w ∈ y)))
18	14, 17	imbi12d 625	. . . . 5 ⊢ (z = x → ((z ∈ y → ∃w(z ∈ w ⋀ w ∈ y)) ↔ (x ∈ y → ∃w(x ∈ w ⋀ w ∈ y))))
19	18	cbvalv 1312	. . . 4 ⊢ (∀z(z ∈ y → ∃w(z ∈ w ⋀ w ∈ y)) ↔ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ⋀ w ∈ y)))
20	19	anbi2i 480	. . 3 ⊢ ((x ∈ y ⋀ ∀z(z ∈ y → ∃w(z ∈ w ⋀ w ∈ y))) ↔ (x ∈ y ⋀ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ⋀ w ∈ y))))
21	20	exbii 1049	. 2 ⊢ (∃y(x ∈ y ⋀ ∀z(z ∈ y → ∃w(z ∈ w ⋀ w ∈ y))) ↔ ∃y(x ∈ y ⋀ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ⋀ w ∈ y))))
22	13, 21	mpbir 190	1 ⊢ ∃y(x ∈ y ⋀ ∀z(z ∈ y → ∃w(z ∈ w ⋀ w ∈ y)))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223  ∀wal 952   = wceq 954   ∈ wcel 956  ∃wex 978

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-15 1358  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-reg 4573  ax-inf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409

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