Theorem zfcndreg 4949

Description: Axiom of Regularity, reproved from conditionless ZFC axioms..

Assertion

Ref	Expression
zfcndreg	⊢ (∃y y ∈ x → ∃y(y ∈ x ⋀ ∀z(z ∈ y → ¬ z ∈ x)))

Distinct variable group:   x,y,z

Proof of Theorem zfcndreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbe1 1014	. 2 ⊢ (∃y(y ∈ x ⋀ ∀z(z ∈ y → ¬ z ∈ x)) → ∀y∃y(y ∈ x ⋀ ∀z(z ∈ y → ¬ z ∈ x)))
2		axregnd 4936	. 2 ⊢ (y ∈ x → ∃y(y ∈ x ⋀ ∀z(z ∈ y → ¬ z ∈ x)))
3	1, 2	19.23ai 1062	1 ⊢ (∃y y ∈ x → ∃y(y ∈ x ⋀ ∀z(z ∈ y → ¬ z ∈ x)))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ⋀ wa 223  ∀wal 952   ∈ wcel 956  ∃wex 978

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-15 1358  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-reg 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409

Copyright terms: Public domain