Theorem zfcndun 4950

Description: Axiom of Union, reproved from conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
zfcndun	⊢ ∃y∀z(∃w(z ∈ w ⋀ w ∈ x) → z ∈ y)

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem zfcndun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axunnd 4931	. 2 ⊢ ∃y∀z(∃y(z ∈ y ⋀ y ∈ x) → z ∈ y)
2		elequ2 1136	. . . . . . 7 ⊢ (w = y → (z ∈ w ↔ z ∈ y))
3		elequ1 1135	. . . . . . 7 ⊢ (w = y → (w ∈ x ↔ y ∈ x))
4	2, 3	anbi12d 627	. . . . . 6 ⊢ (w = y → ((z ∈ w ⋀ w ∈ x) ↔ (z ∈ y ⋀ y ∈ x)))
5	4	cbvexv 1314	. . . . 5 ⊢ (∃w(z ∈ w ⋀ w ∈ x) ↔ ∃y(z ∈ y ⋀ y ∈ x))
6	5	imbi1i 186	. . . 4 ⊢ ((∃w(z ∈ w ⋀ w ∈ x) → z ∈ y) ↔ (∃y(z ∈ y ⋀ y ∈ x) → z ∈ y))
7	6	albii 998	. . 3 ⊢ (∀z(∃w(z ∈ w ⋀ w ∈ x) → z ∈ y) ↔ ∀z(∃y(z ∈ y ⋀ y ∈ x) → z ∈ y))
8	7	exbii 1050	. 2 ⊢ (∃y∀z(∃w(z ∈ w ⋀ w ∈ x) → z ∈ y) ↔ ∃y∀z(∃y(z ∈ y ⋀ y ∈ x) → z ∈ y))
9	1, 8	mpbir 190	1 ⊢ ∃y∀z(∃w(z ∈ w ⋀ w ∈ x) → z ∈ y)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223  ∀wal 953   = wceq 955   ∈ wcel 957  ∃wex 979

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-reg 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-br 2616  df-opab 2663  df-eprel 2828  df-fr 2913

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