Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zfregs2VD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zfregs2VD 39575
Description: Virtual deduction proof of zfregs2 8782. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
zfregs2VD (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zfregs2VD
StepHypRef Expression
1 idn1 39292 . . . . . . . 8 (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝐴 ≠ ∅   )
2 zfregs 8781 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)
31, 2e1a 39354 . . . . . . 7 (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅   )
4 incom 3948 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴) = (𝐴𝑥)
54eqeq1i 2765 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴) = ∅ ↔ (𝐴𝑥) = ∅)
65rexbii 3179 . . . . . . 7 (∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅)
73, 6e1bi 39356 . . . . . 6 (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅   )
8 disj1 4162 . . . . . . 7 ((𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥))
98rexbii 3179 . . . . . 6 (∃𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥))
107, 9e1bi 39356 . . . . 5 (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥)   )
11 alinexa 1919 . . . . . 6 (∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥) ↔ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1211rexbii 3179 . . . . 5 (∃𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1310, 12e1bi 39356 . . . 4 (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥)   )
14 dfrex2 3134 . . . 4 (∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1513, 14e1bi 39356 . . 3 (   𝐴 ≠ ∅   ▶    ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥)   )
16 notnotr 125 . . . . . 6 (¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
17 notnot 136 . . . . . 6 (∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) → ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1816, 17impbii 199 . . . . 5 (¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1918ralbii 3118 . . . 4 (∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
2019notbii 309 . . 3 (¬ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
2115, 20e1bi 39356 . 2 (   𝐴 ≠ ∅   ▶    ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥)   )
2221in1 39289 1 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  wal 1630   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  cin 3714  c0 4058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-reg 8662  ax-inf2 8711
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-vd1 39288
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator