Theorem zfrep4 2697

Description: A version of Replacement using class abstractions.

Hypotheses

Ref	Expression
zfrep4.1	⊢ {x∣φ} ∈ V
zfrep4.2	⊢ (φ → ∃z∀y(ψ → y = z))

Assertion

Ref	Expression
zfrep4	⊢ {y∣∃x(φ ⋀ ψ)} ∈ V

Distinct variable groups:   φ,y,z   ψ,z   x,y,z

Proof of Theorem zfrep4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abid 1463	. . . . 5 ⊢ (x ∈ {x∣φ} ↔ φ)
2	1	anbi1i 481	. . . 4 ⊢ ((x ∈ {x∣φ} ⋀ ψ) ↔ (φ ⋀ ψ))
3	2	exbii 1049	. . 3 ⊢ (∃x(x ∈ {x∣φ} ⋀ ψ) ↔ ∃x(φ ⋀ ψ))
4	3	abbii 1572	. 2 ⊢ {y∣∃x(x ∈ {x∣φ} ⋀ ψ)} = {y∣∃x(φ ⋀ ψ)}
5		hbab1 1464	. . . . 5 ⊢ (y ∈ {x∣φ} → ∀x y ∈ {x∣φ})
6		zfrep4.1	. . . . 5 ⊢ {x∣φ} ∈ V
7		zfrep4.2	. . . . . 6 ⊢ (φ → ∃z∀y(ψ → y = z))
8	1, 7	sylbi 199	. . . . 5 ⊢ (x ∈ {x∣φ} → ∃z∀y(ψ → y = z))
9	5, 6, 8	zfrepclf 2695	. . . 4 ⊢ ∃z∀y(y ∈ z ↔ ∃x(x ∈ {x∣φ} ⋀ ψ))
10		abeq2 1565	. . . . 5 ⊢ (z = {y∣∃x(x ∈ {x∣φ} ⋀ ψ)} ↔ ∀y(y ∈ z ↔ ∃x(x ∈ {x∣φ} ⋀ ψ)))
11	10	exbii 1049	. . . 4 ⊢ (∃z z = {y∣∃x(x ∈ {x∣φ} ⋀ ψ)} ↔ ∃z∀y(y ∈ z ↔ ∃x(x ∈ {x∣φ} ⋀ ψ)))
12	9, 11	mpbir 190	. . 3 ⊢ ∃z z = {y∣∃x(x ∈ {x∣φ} ⋀ ψ)}
13	12	issetri 1812	. 2 ⊢ {y∣∃x(x ∈ {x∣φ} ⋀ ψ)} ∈ V
14	4, 13	eqeltrr 1542	1 ⊢ {y∣∃x(φ ⋀ ψ)} ∈ V

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223  ∀wal 952   = wceq 954   ∈ wcel 956  ∃wex 978  {cab 1461  Vcvv 1807

This theorem is referenced by:  zfpair 2773

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-12 966  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2689

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-v 1808

Copyright terms: Public domain