MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zgz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zgz 15561
Description: An integer is a gaussian integer. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
zgz (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ[i])

Proof of Theorem zgz
StepHypRef Expression
1 zcn 11326 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 zre 11325 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
32rered 13898 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
4 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
53, 4eqeltrd 2698 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
62reim0d 13899 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (ℑ‘𝐴) = 0)
7 0z 11332 . . 3 0 ∈ ℤ
86, 7syl6eqel 2706 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
9 elgz 15559 . 2 (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
101, 5, 8, 9syl3anbrc 1244 1 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ[i])
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  cfv 5847  cc 9878  0cc0 9880  cz 11321  cre 13771  cim 13772  ℤ[i]cgz 15557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-2 11023  df-z 11322  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-gz 15558
This theorem is referenced by:  gzreim  15567  mul4sqlem  15581  4sqlem13  15585  4sqlem19  15591  gzsubrg  19719  zringunit  19755  2sqlem9  25052  2sqlem10  25053
  Copyright terms: Public domain W3C validator