Theorem zhmnrg 31212

Description: The ℤ-module built from a normed ring is also a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zhmnrg	⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → 𝑊 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem zhmnrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
3		zlmlem2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
4	3, 1	zlmbas 20668	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
6		eqid 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7	3, 6	zlmplusg 20669	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊)
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊))
9	8	oveqdr 7187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦))
10	2, 5, 9	grppropd 18121	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑊 ∈ Grp))
11		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
12	3, 11	zlmds 31209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (dist‘𝐺) = (dist‘𝑊))
13	12	reseq1d 5855	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))))
14		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘𝐺)
15	3, 14	zlmtset 31210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘𝑊))
16	5, 15	topnpropd 16713	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑊))
17	2, 5, 13, 16	mspropd 23087	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ MetSp ↔ 𝑊 ∈ MetSp))
18		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
19	3, 18	zlmnm 31211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (norm‘𝐺) = (norm‘𝑊))
20	5, 8	grpsubpropd 18207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (-g‘𝐺) = (-g‘𝑊))
21	19, 20	coeq12d 5738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = ((norm‘𝑊) ∘ (-g‘𝑊)))
22	21, 12	sseq12d 4003	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺) ↔ ((norm‘𝑊) ∘ (-g‘𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊)))
23	10, 17, 22	3anbi123d 1432	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝑊) ∘ (-g‘𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊))))
24		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
25	18, 24, 11	isngp 23208	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)))
26		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
27		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
28		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
29	26, 27, 28	isngp 23208	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝑊) ∘ (-g‘𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊)))
30	23, 25, 29	3bitr4g 316	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ 𝑊 ∈ NrmGrp))
31		eqid 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝐺)
32	3, 31	zlmmulr 20670	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊)
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊))
34	5, 8, 33	abvpropd2 30643	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (AbsVal‘𝐺) = (AbsVal‘𝑊))
35	19, 34	eleq12d 2910	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺) ↔ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊)))
36	30, 35	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊))))
37		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (AbsVal‘𝐺) = (AbsVal‘𝐺)
38	18, 37	isnrg 23272	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing ↔ (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺)))
39		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (AbsVal‘𝑊) = (AbsVal‘𝑊)
40	26, 39	isnrg 23272	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmRing ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊)))
41	36, 38, 40	3bitr4g 316	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ NrmRing ↔ 𝑊 ∈ NrmRing))
42	41	ibi 269	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → 𝑊 ∈ NrmRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3939   × cxp 5556   ∘ ccom 5562  ‘cfv 6358  Basecbs 16486  +_gcplusg 16568  ._rcmulr 16569  TopSetcts 16574  distcds 16577  Grpcgrp 18106  -_gcsg 18108  AbsValcabv 19590  ℤModczlm 20651  MetSpcms 22931  normcnm 23189  NrmGrpcngp 23190  NrmRingcnrg 23192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-tset 16587  df-ds 16590  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mgp 19243  df-ring 19302  df-abv 19591  df-zlm 20655  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-xms 22933  df-ms 22934  df-nm 23195  df-ngp 23196  df-nrg 23198

This theorem is referenced by:  cnzh  31215  rezh  31216  qqhnm  31235