Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zhmnrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zhmnrg 29790
 Description: The ℤ-module built from a normed ring is also a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
zlmlem2.1 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
zhmnrg (𝐺 ∈ NrmRing → 𝑊 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem zhmnrg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21a1i 11 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmRing → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
3 zlmlem2.1 . . . . . . . . 9 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
43, 1zlmbas 19785 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
54a1i 11 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmRing → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
6 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
73, 6zlmplusg 19786 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝑊)
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmRing → (+g𝐺) = (+g𝑊))
98oveqdr 6628 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝑊)𝑦))
102, 5, 9grppropd 17358 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑊 ∈ Grp))
11 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
123, 11zlmds 29787 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmRing → (dist‘𝐺) = (dist‘𝑊))
1312reseq1d 5355 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmRing → ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))))
14 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘𝐺)
153, 14zlmtset 29788 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmRing → (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘𝑊))
165, 15topnpropd 16018 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmRing → (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑊))
172, 5, 13, 16mspropd 22189 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ MetSp ↔ 𝑊 ∈ MetSp))
18 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
193, 18zlmnm 29789 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmRing → (norm‘𝐺) = (norm‘𝑊))
205, 8grpsubpropd 17441 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmRing → (-g𝐺) = (-g𝑊))
2119, 20coeq12d 5246 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmRing → ((norm‘𝐺) ∘ (-g𝐺)) = ((norm‘𝑊) ∘ (-g𝑊)))
2221, 12sseq12d 3613 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmRing → (((norm‘𝐺) ∘ (-g𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺) ↔ ((norm‘𝑊) ∘ (-g𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊)))
2310, 17, 223anbi123d 1396 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmRing → ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝑊) ∘ (-g𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊))))
24 eqid 2621 . . . . . 6 (-g𝐺) = (-g𝐺)
2518, 24, 11isngp 22310 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)))
26 eqid 2621 . . . . . 6 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
27 eqid 2621 . . . . . 6 (-g𝑊) = (-g𝑊)
28 eqid 2621 . . . . . 6 (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
2926, 27, 28isngp 22310 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝑊) ∘ (-g𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊)))
3023, 25, 293bitr4g 303 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ 𝑊 ∈ NrmGrp))
31 eqid 2621 . . . . . . . 8 (.r𝐺) = (.r𝐺)
323, 31zlmmulr 19787 . . . . . . 7 (.r𝐺) = (.r𝑊)
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmRing → (.r𝐺) = (.r𝑊))
345, 8, 33abvpropd2 29434 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmRing → (AbsVal‘𝐺) = (AbsVal‘𝑊))
3519, 34eleq12d 2692 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmRing → ((norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺) ↔ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊)))
3630, 35anbi12d 746 . . 3 (𝐺 ∈ NrmRing → ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊))))
37 eqid 2621 . . . 4 (AbsVal‘𝐺) = (AbsVal‘𝐺)
3818, 37isnrg 22374 . . 3 (𝐺 ∈ NrmRing ↔ (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺)))
39 eqid 2621 . . . 4 (AbsVal‘𝑊) = (AbsVal‘𝑊)
4026, 39isnrg 22374 . . 3 (𝑊 ∈ NrmRing ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊)))
4136, 38, 403bitr4g 303 . 2 (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ NrmRing ↔ 𝑊 ∈ NrmRing))
4241ibi 256 1 (𝐺 ∈ NrmRing → 𝑊 ∈ NrmRing)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3555   × cxp 5072   ∘ ccom 5078  ‘cfv 5847  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  .rcmulr 15863  TopSetcts 15868  distcds 15871  Grpcgrp 17343  -gcsg 17345  AbsValcabv 18737  ℤModczlm 19768  MetSpcmt 22033  normcnm 22291  NrmGrpcngp 22292  NrmRingcnrg 22294 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-tset 15881  df-ds 15885  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mgp 18411  df-ring 18470  df-abv 18738  df-zlm 19772  df-top 20621  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-xms 22035  df-ms 22036  df-nm 22297  df-ngp 22298  df-nrg 22300 This theorem is referenced by:  cnzh  29793  rezh  29794  qqhnm  29813
 Copyright terms: Public domain W3C validator