MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zindd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zindd 11516
Description: Principle of Mathematical Induction on all integers, deduction version. The first five hypotheses give the substitutions; the last three are the basis, the induction, and the extension to negative numbers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zindd.1 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
zindd.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
zindd.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜏))
zindd.4 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜃))
zindd.5 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜂))
zindd.6 (𝜁𝜓)
zindd.7 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒𝜏)))
zindd.8 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒𝜃)))
Assertion
Ref Expression
zindd (𝜁 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥   𝑥,𝑦,𝜁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem zindd
StepHypRef Expression
1 znegcl 11450 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
2 elznn0nn 11429 . . . . . . 7 (-𝑦 ∈ ℤ ↔ (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)))
31, 2sylib 208 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)))
4 simpr 476 . . . . . . 7 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ) → --𝑦 ∈ ℕ)
54orim2i 539 . . . . . 6 ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)) → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ))
63, 5syl 17 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ))
7 zcn 11420 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
87negnegd 10421 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → --𝑦 = 𝑦)
98eleq1d 2715 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → (--𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ ℕ))
109orbi2d 738 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℤ → ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ) ↔ (-𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ)))
116, 10mpbid 222 . . . 4 (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ))
12 zindd.1 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
1312imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝜁𝜑) ↔ (𝜁𝜓)))
14 zindd.2 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
1514imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜁𝜑) ↔ (𝜁𝜒)))
16 zindd.3 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜏))
1716imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜁𝜑) ↔ (𝜁𝜏)))
18 zindd.4 . . . . . . . 8 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜃))
1918imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑥 = -𝑦 → ((𝜁𝜑) ↔ (𝜁𝜃)))
20 zindd.6 . . . . . . 7 (𝜁𝜓)
21 zindd.7 . . . . . . . . 9 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒𝜏)))
2221com12 32 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁 → (𝜒𝜏)))
2322a2d 29 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝜁𝜒) → (𝜁𝜏)))
2413, 15, 17, 19, 20, 23nn0ind 11510 . . . . . 6 (-𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁𝜃))
2524com12 32 . . . . 5 (𝜁 → (-𝑦 ∈ ℕ0𝜃))
2613, 15, 17, 15, 20, 23nn0ind 11510 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁𝜒))
27 nnnn0 11337 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
2826, 27syl11 33 . . . . . 6 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒))
29 zindd.8 . . . . . 6 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒𝜃)))
3028, 29mpdd 43 . . . . 5 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → 𝜃))
3125, 30jaod 394 . . . 4 (𝜁 → ((-𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → 𝜃))
3211, 31syl5 34 . . 3 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℤ → 𝜃))
3332ralrimiv 2994 . 2 (𝜁 → ∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃)
34 znegcl 11450 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
35 negeq 10311 . . . . . . . . 9 (𝑦 = -𝑥 → -𝑦 = --𝑥)
36 zcn 11420 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3736negnegd 10421 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → --𝑥 = 𝑥)
3835, 37sylan9eqr 2707 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → -𝑦 = 𝑥)
3938eqcomd 2657 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → 𝑥 = -𝑦)
4039, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜑𝜃))
4140bicomd 213 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜃𝜑))
4234, 41rspcdv 3343 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃𝜑))
4342com12 32 . . 3 (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝜑))
4443ralrimiv 2994 . 2 (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
45 zindd.5 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜂))
4645rspccv 3337 . 2 (∀𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))
4733, 44, 463syl 18 1 (𝜁 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  -cneg 10305  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416
This theorem is referenced by:  efexp  14875  pcexp  15611  mulgaddcom  17611  mulginvcom  17612  mulgneg2  17622  mulgass2  18647  cnfldmulg  19826  clmmulg  22947  xrsmulgzz  29806
  Copyright terms: Public domain W3C validator