MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zleltp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zleltp1 11640
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zleltp1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑀 < (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem zleltp1
StepHypRef Expression
1 zre 11593 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2 zre 11593 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 1re 10251 . . . 4 1 ∈ ℝ
4 leadd1 10708 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
53, 4mp3an3 1562 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
61, 2, 5syl2an 495 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
7 peano2z 11630 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
8 zltp1le 11639 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
97, 8sylan2 492 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
106, 9bitr4d 271 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑀 < (𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  cr 10147  1c1 10149   + caddc 10151   < clt 10286  cle 10287  cz 11589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590
This theorem is referenced by:  zltlem1  11642  nnleltp1  11644  nn0leltp1  11648  suprzcl  11669  le9lt10  11741  declecOLD  11756  uzwo  11964  flge  12820  flhalf  12845  om2uzlti  12963  seqf1olem1  13054  fz1isolem  13457  hashtpg  13479  ltoddhalfle  15307  prmind2  15620  prm23lt5  15741  prmreclem2  15843  prmgaplem8  15984  chfacfisf  20881  chfacfisfcpmat  20882  chfacfscmulgsum  20887  chfacfpmmulgsum  20891  plyco0  24167  plydivex  24271  logf1o2  24616  ang180lem3  24761  basellem3  25029  ppieq0  25122  chpeq0  25153  bposlem1  25229  bposlem6  25234  dchrvmasumiflem1  25410  mulog2sumlem2  25444  dp2lt10  29921  1smat1  30200  ballotlemfc0  30884  ballotlemfcc  30885  poimirlem24  33764  poimirlem28  33768  fdc  33872  irrapxlem1  37906  pellexlem5  37917  jm2.24  38050  zltlesub  40014  dvnxpaek  40678  fourierdlem50  40894  zgeltp1eq  41846  odz2prm2pw  42003  fmtno4prmfac  42012  2pwp1prm  42031  nnsum3primesle9  42210
  Copyright terms: Public domain W3C validator