MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zleltp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zleltp1 11264
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zleltp1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑀 < (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem zleltp1
StepHypRef Expression
1 zre 11217 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2 zre 11217 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 1re 9896 . . . 4 1 ∈ ℝ
4 leadd1 10348 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
53, 4mp3an3 1404 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
61, 2, 5syl2an 492 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
7 peano2z 11254 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
8 zltp1le 11263 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
97, 8sylan2 489 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
106, 9bitr4d 269 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑀 < (𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cr 9792  1c1 9794   + caddc 9796   < clt 9931  cle 9932  cz 11213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214
This theorem is referenced by:  zltlem1  11266  nnleltp1  11268  nn0leltp1  11272  suprzcl  11292  le9lt10  11364  declecOLD  11379  uzwo  11586  flge  12426  flhalf  12451  om2uzlti  12569  seqf1olem1  12660  fz1isolem  13057  hashtpg  13074  ltoddhalfle  14872  prmind2  15185  prm23lt5  15306  prmreclem2  15408  prmgaplem8  15549  chfacfisf  20426  chfacfisfcpmat  20427  chfacfscmulgsum  20432  chfacfpmmulgsum  20436  plyco0  23697  plydivex  23801  logf1o2  24141  ang180lem3  24286  basellem3  24554  ppieq0  24647  chpeq0  24678  bposlem1  24754  bposlem6  24759  dchrvmasumiflem1  24935  mulog2sumlem2  24969  1smat1  29032  ballotlemfc0  29715  ballotlemfcc  29716  poimirlem24  32427  poimirlem28  32431  fdc  32535  irrapxlem1  36228  pellexlem5  36239  jm2.24  36372  zltlesub  38262  dvnxpaek  38656  fourierdlem50  38873  zgeltp1eq  39768  odz2prm2pw  39838  fmtno4prmfac  39847  2pwp1prm  39866  nnsum3primesle9  40035
  Copyright terms: Public domain W3C validator