Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlidlring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlidlring 41189
Description: The zero (left) ideal of a non-unital ring is a unital ring (the zero ring). (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlabl.l 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
zlidlring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
zlidlring.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
zlidlring ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Ring)

Proof of Theorem zlidlring
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
2 lidlabl.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
3 zlidlring.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
42, 3lidl0 19133 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝐿)
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → { 0 } ∈ 𝐿)
6 eleq1 2692 . . . . . . 7 (𝑈 = { 0 } → (𝑈𝐿 ↔ { 0 } ∈ 𝐿))
76adantl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → (𝑈𝐿 ↔ { 0 } ∈ 𝐿))
85, 7mpbird 247 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝑈𝐿)
91, 8jca 554 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿))
10 lidlabl.i . . . . 5 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
112, 10lidlrng 41188 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → 𝐼 ∈ Rng)
129, 11syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Rng)
13 eleq1 2692 . . . . . . 7 ({ 0 } = 𝑈 → ({ 0 } ∈ 𝐿𝑈𝐿))
1413eqcoms 2634 . . . . . 6 (𝑈 = { 0 } → ({ 0 } ∈ 𝐿𝑈𝐿))
1514adantl 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ({ 0 } ∈ 𝐿𝑈𝐿))
16 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
17 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1817, 3ring0cl 18485 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
1916, 18jca 554 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
20 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2117, 20, 3ringlz 18503 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 )
2221, 21jca 554 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ))
2319, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ))
24 fvex 6160 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝑅) ∈ V
253, 24eqeltri 2700 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ V)
27 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 0 → ( 0 (.r𝑅)𝑦) = ( 0 (.r𝑅) 0 ))
28 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 0𝑦 = 0 )
2927, 28eqeq12d 2641 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 0 → (( 0 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ))
30 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 0 → (𝑦(.r𝑅) 0 ) = ( 0 (.r𝑅) 0 ))
3130, 28eqeq12d 2641 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 0 → ((𝑦(.r𝑅) 0 ) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ))
3229, 31anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 0 → ((( 0 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 )))
3332ralsng 4194 . . . . . . . . . . . 12 ( 0 ∈ V → (∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 )))
3426, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 )))
3523, 34mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅) 0 ) = 𝑦))
36 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 0 → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = ( 0 (.r𝑅)𝑦))
3736eqeq1d 2628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 0 → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦))
38 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 0 → (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (𝑦(.r𝑅) 0 ))
3938eqeq1d 2628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 0 → ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(.r𝑅) 0 ) = 𝑦))
4037, 39anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅) 0 ) = 𝑦)))
4140ralbidv 2985 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅) 0 ) = 𝑦)))
4241rexsng 4195 . . . . . . . . . . 11 ( 0 ∈ V → (∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅) 0 ) = 𝑦)))
4326, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅) 0 ) = 𝑦)))
4435, 43mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
4544adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
4645adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
47 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → 𝑈𝐿)
482, 10lidlbas 41184 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → (Base‘𝐼) = 𝑈)
50 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝑈 = { 0 })
5150adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → 𝑈 = { 0 })
5249, 51eqtrd 2660 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → (Base‘𝐼) = { 0 })
5310, 20ressmulr 15922 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈𝐿 → (.r𝑅) = (.r𝐼))
5453eqcomd 2632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈𝐿 → (.r𝐼) = (.r𝑅))
5554adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → (.r𝐼) = (.r𝑅))
5655oveqd 6622 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → (𝑥(.r𝐼)𝑦) = (𝑥(.r𝑅)𝑦))
5756eqeq1d 2628 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → ((𝑥(.r𝐼)𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦))
5855oveqd 6622 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → (𝑦(.r𝐼)𝑥) = (𝑦(.r𝑅)𝑥))
5958eqeq1d 2628 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → ((𝑦(.r𝐼)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
6057, 59anbi12d 746 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → (((𝑥(.r𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)))
6152, 60raleqbidv 3146 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)))
6252, 61rexeqbidv 3147 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)))
6346, 62mpbird 247 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝐼)𝑥) = 𝑦))
6463ex 450 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → (𝑈𝐿 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝐼)𝑥) = 𝑦)))
6515, 64sylbid 230 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ({ 0 } ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝐼)𝑥) = 𝑦)))
665, 65mpd 15 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝐼)𝑥) = 𝑦))
6712, 66jca 554 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → (𝐼 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝐼)𝑥) = 𝑦)))
68 eqid 2626 . . 3 (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
69 eqid 2626 . . 3 (.r𝐼) = (.r𝐼)
7068, 69isringrng 41142 . 2 (𝐼 ∈ Ring ↔ (𝐼 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝐼)𝑥) = 𝑦)))
7167, 70sylibr 224 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913  Vcvv 3191  {csn 4153  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  s cress 15777  .rcmulr 15858  0gc0g 16016  Ringcrg 18463  LIdealclidl 19084  Rngcrng 41135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-subg 17507  df-cmn 18111  df-abl 18112  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-subrg 18694  df-lmod 18781  df-lss 18847  df-sra 19086  df-rgmod 19087  df-lidl 19088  df-rng0 41136
This theorem is referenced by:  uzlidlring  41190
  Copyright terms: Public domain W3C validator