MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlmassa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmassa 20601
Description: The -module operation turns a ring into an associative algebra over . (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zlmlmod.w 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
zlmassa (𝐺 ∈ Ring ↔ 𝑊 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem zlmassa
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmlmod.w . . . . 5 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2 eqid 2821 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31, 2zlmbas 20595 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
43a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Ring → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
51zlmsca 20598 . . 3 (𝐺 ∈ Ring → ℤring = (Scalar‘𝑊))
6 zringbas 20553 . . . 4 ℤ = (Base‘ℤring)
76a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Ring → ℤ = (Base‘ℤring))
8 eqid 2821 . . . . 5 (.g𝐺) = (.g𝐺)
91, 8zlmvsca 20599 . . . 4 (.g𝐺) = ( ·𝑠𝑊)
109a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Ring → (.g𝐺) = ( ·𝑠𝑊))
11 eqid 2821 . . . . 5 (.r𝐺) = (.r𝐺)
121, 11zlmmulr 20597 . . . 4 (.r𝐺) = (.r𝑊)
1312a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Ring → (.r𝐺) = (.r𝑊))
14 ringabl 19261 . . . 4 (𝐺 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Abel)
151zlmlmod 20600 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)
1614, 15sylib 219 . . 3 (𝐺 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
17 eqid 2821 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
181, 17zlmplusg 20596 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝑊)
193, 18, 12ringprop 19265 . . . 4 (𝐺 ∈ Ring ↔ 𝑊 ∈ Ring)
2019biimpi 217 . . 3 (𝐺 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
21 zringcrng 20549 . . . 4 ring ∈ CRing
2221a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Ring → ℤring ∈ CRing)
232, 8, 11mulgass2 19282 . . 3 ((𝐺 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(.g𝐺)𝑦)(.r𝐺)𝑧) = (𝑥(.g𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑧)))
242, 8, 11mulgass3 19318 . . 3 ((𝐺 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(.r𝐺)(𝑥(.g𝐺)𝑧)) = (𝑥(.g𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑧)))
254, 5, 7, 10, 13, 16, 20, 22, 23, 24isassad 20026 . 2 (𝐺 ∈ Ring → 𝑊 ∈ AssAlg)
26 assaring 20023 . . 3 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
2726, 19sylibr 235 . 2 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐺 ∈ Ring)
2825, 27impbii 210 1 (𝐺 ∈ Ring ↔ 𝑊 ∈ AssAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6349  cz 11970  Basecbs 16473  +gcplusg 16555  .rcmulr 16556   ·𝑠 cvsca 16559  .gcmg 18164  Abelcabl 18838  Ringcrg 19228  CRingccrg 19229  LModclmod 19565  AssAlgcasa 20012  ringzring 20547  ℤModczlm 20578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-tpos 7883  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-0g 16705  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-grp 18046  df-minusg 18047  df-mulg 18165  df-subg 18216  df-cmn 18839  df-abl 18840  df-mgp 19171  df-ur 19183  df-ring 19230  df-cring 19231  df-oppr 19304  df-subrg 19464  df-lmod 19567  df-assa 20015  df-cnfld 20476  df-zring 20548  df-zlm 20582
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator