Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzadd 41454
Description: The addition of the -module ℤ × ℤ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxz.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzadd.p + = (+g𝑍)
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzadd (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} + {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 + 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 + 𝐷)⟩})

Proof of Theorem zlmodzxzadd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmodzxz.z . . 3 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2 eqid 2621 . . 3 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
3 zringring 19761 . . . 4 ring ∈ Ring
43a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ℤring ∈ Ring)
5 prex 4880 . . . 4 {0, 1} ∈ V
65a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {0, 1} ∈ V)
7 simpl 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
8 simpl 473 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
91zlmodzxzel 41451 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
107, 8, 9syl2an 494 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
11 simpr 477 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
12 simpr 477 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
131zlmodzxzel 41451 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
1411, 12, 13syl2an 494 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
15 eqid 2621 . . 3 (+g‘ℤring) = (+g‘ℤring)
16 zlmodzxzadd.p . . 3 + = (+g𝑍)
171, 2, 4, 6, 10, 14, 15, 16frlmplusgval 20047 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} + {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∘𝑓 (+g‘ℤring){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}))
18 c0ex 9994 . . . . . 6 0 ∈ V
19 1ex 9995 . . . . . 6 1 ∈ V
2018, 19pm3.2i 471 . . . . 5 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
2120a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V))
227, 8anim12i 589 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
23 0ne1 11048 . . . . 5 0 ≠ 1
2423a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 0 ≠ 1)
25 fnprg 5915 . . . 4 (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} Fn {0, 1})
2621, 22, 24, 25syl3anc 1323 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} Fn {0, 1})
2711, 12anim12i 589 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
28 fnprg 5915 . . . 4 (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} Fn {0, 1})
2921, 27, 24, 28syl3anc 1323 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} Fn {0, 1})
306, 26, 29offvalfv 41439 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∘𝑓 (+g‘ℤring){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = (𝑥 ∈ {0, 1} ↦ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥))))
31 zringplusg 19765 . . . . . . 7 + = (+g‘ℤring)
3231eqcomi 2630 . . . . . 6 (+g‘ℤring) = +
3332oveqi 6628 . . . . 5 (𝐴(+g‘ℤring)𝐵) = (𝐴 + 𝐵)
3433opeq2i 4381 . . . 4 ⟨0, (𝐴(+g‘ℤring)𝐵)⟩ = ⟨0, (𝐴 + 𝐵)⟩
3532oveqi 6628 . . . . 5 (𝐶(+g‘ℤring)𝐷) = (𝐶 + 𝐷)
3635opeq2i 4381 . . . 4 ⟨1, (𝐶(+g‘ℤring)𝐷)⟩ = ⟨1, (𝐶 + 𝐷)⟩
3734, 36preq12i 4250 . . 3 {⟨0, (𝐴(+g‘ℤring)𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶(+g‘ℤring)𝐷)⟩} = {⟨0, (𝐴 + 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 + 𝐷)⟩}
3818a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 0 ∈ V)
3919a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 1 ∈ V)
40 ovexd 6645 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴(+g‘ℤring)𝐵) ∈ V)
41 ovexd 6645 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐶(+g‘ℤring)𝐷) ∈ V)
42 fveq2 6158 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0))
43 fveq2 6158 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘0))
4442, 43oveq12d 6633 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥)) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘0)))
457adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
46 fvpr1g 6423 . . . . . . 7 ((0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0) = 𝐴)
4738, 45, 24, 46syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0) = 𝐴)
4811adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
49 fvpr1g 6423 . . . . . . 7 ((0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘0) = 𝐵)
5038, 48, 24, 49syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘0) = 𝐵)
5147, 50oveq12d 6633 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘0)) = (𝐴(+g‘ℤring)𝐵))
5244, 51sylan9eqr 2677 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = 0) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥)) = (𝐴(+g‘ℤring)𝐵))
53 fveq2 6158 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1))
54 fveq2 6158 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘1))
5553, 54oveq12d 6633 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥)) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘1)))
568adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℤ)
57 fvpr2g 6424 . . . . . . 7 ((1 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1) = 𝐶)
5839, 56, 24, 57syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1) = 𝐶)
5912adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℤ)
60 fvpr2g 6424 . . . . . . 7 ((1 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘1) = 𝐷)
6139, 59, 24, 60syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘1) = 𝐷)
6258, 61oveq12d 6633 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘1)) = (𝐶(+g‘ℤring)𝐷))
6355, 62sylan9eqr 2677 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = 1) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥)) = (𝐶(+g‘ℤring)𝐷))
6438, 39, 40, 41, 52, 63fmptpr 6403 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, (𝐴(+g‘ℤring)𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶(+g‘ℤring)𝐷)⟩} = (𝑥 ∈ {0, 1} ↦ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥))))
6537, 64syl5reqr 2670 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ {0, 1} ↦ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥))) = {⟨0, (𝐴 + 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 + 𝐷)⟩})
6617, 30, 653eqtrd 2659 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} + {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 + 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 + 𝐷)⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3190  {cpr 4157  cop 4161  cmpt 4683   Fn wfn 5852  cfv 5857  (class class class)co 6615  𝑓 cof 6860  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899  cz 11337  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  Ringcrg 18487  ringzring 19758   freeLMod cfrlm 20030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-0g 16042  df-prds 16048  df-pws 16050  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-subg 17531  df-cmn 18135  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-cring 18490  df-subrg 18718  df-sra 19112  df-rgmod 19113  df-cnfld 19687  df-zring 19759  df-dsmm 20016  df-frlm 20031
This theorem is referenced by:  zlmodzxzsub  41456  zlmodzxzequap  41606
  Copyright terms: Public domain W3C validator