Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzel 41394
 Description: An element of the (base set of the) ℤ-module ℤ × ℤ. (Contributed by AV, 21-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
zlmodzxz.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzel ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (Base‘𝑍))

Proof of Theorem zlmodzxzel
StepHypRef Expression
1 c0ex 9979 . . . . . 6 0 ∈ V
2 1ex 9980 . . . . . 6 1 ∈ V
31, 2pm3.2i 471 . . . . 5 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
4 0ne1 11033 . . . . 5 0 ≠ 1
5 fprg 6377 . . . . 5 (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶{𝐴, 𝐵})
63, 4, 5mp3an13 1412 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶{𝐴, 𝐵})
7 prssi 4326 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℤ)
8 zringbas 19738 . . . . 5 ℤ = (Base‘ℤring)
97, 8syl6sseq 3635 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ (Base‘ℤring))
106, 9fssd 6016 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶(Base‘ℤring))
11 fvex 6160 . . . . 5 (Base‘ℤring) ∈ V
12 prex 4875 . . . . 5 {0, 1} ∈ V
1311, 12pm3.2i 471 . . . 4 ((Base‘ℤring) ∈ V ∧ {0, 1} ∈ V)
14 elmapg 7816 . . . 4 (((Base‘ℤring) ∈ V ∧ {0, 1} ∈ V) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {0, 1}) ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶(Base‘ℤring)))
1513, 14mp1i 13 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {0, 1}) ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶(Base‘ℤring)))
1610, 15mpbird 247 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {0, 1}))
17 zringring 19735 . . . 4 ring ∈ Ring
18 prfi 8180 . . . 4 {0, 1} ∈ Fin
1917, 18pm3.2i 471 . . 3 (ℤring ∈ Ring ∧ {0, 1} ∈ Fin)
20 zlmodzxz.z . . . 4 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
21 eqid 2626 . . . 4 (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
2220, 21frlmfibas 20019 . . 3 ((ℤring ∈ Ring ∧ {0, 1} ∈ Fin) → ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {0, 1}) = (Base‘𝑍))
2319, 22mp1i 13 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {0, 1}) = (Base‘𝑍))
2416, 23eleqtrd 2706 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (Base‘𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ≠ wne 2796  Vcvv 3191  {cpr 4155  ⟨cop 4159  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605   ↑𝑚 cmap 7803  Fincfn 7900  0cc0 9881  1c1 9882  ℤcz 11322  Basecbs 15776  Ringcrg 18463  ℤringzring 19732   freeLMod cfrlm 20004 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-addf 9960  ax-mulf 9961 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12266  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-0g 16018  df-prds 16024  df-pws 16026  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-subg 17507  df-cmn 18111  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-cring 18466  df-subrg 18694  df-sra 19086  df-rgmod 19087  df-cnfld 19661  df-zring 19733  df-dsmm 19990  df-frlm 20005 This theorem is referenced by:  zlmodzxzscm  41396  zlmodzxzadd  41397  zlmodzxzsubm  41398  zlmodzxzsub  41399  zlmodzxzldeplem3  41553  zlmodzxzldep  41555  ldepsnlinclem1  41556  ldepsnlinclem2  41557  ldepsnlinc  41559
 Copyright terms: Public domain W3C validator