Theorem zlmodzxzel 44396

Description: An element of the (base set of the) ℤ-module ℤ × ℤ. (Contributed by AV, 21-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmodzxz.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzel	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (Base‘𝑍))

Proof of Theorem zlmodzxzel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 10629	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
2		1ex 10631	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 473	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
4		0ne1 11702	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
5		fprg 6912	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶{𝐴, 𝐵})
6	3, 4, 5	mp3an13 1448	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶{𝐴, 𝐵})
7		prssi 4748	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℤ)
8		zringbas 20617	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
9	7, 8	sseqtrdi 4017	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ (Base‘ℤring))
10	6, 9	fssd 6523	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶(Base‘ℤring))
11		fvex 6678	. . . . 5 ⊢ (Base‘ℤring) ∈ V
12		prex 5325	. . . . 5 ⊢ {0, 1} ∈ V
13	11, 12	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ ((Base‘ℤring) ∈ V ∧ {0, 1} ∈ V)
14		elmapg 8413	. . . 4 ⊢ (((Base‘ℤring) ∈ V ∧ {0, 1} ∈ V) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {0, 1}) ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶(Base‘ℤring)))
15	13, 14	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {0, 1}) ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶(Base‘ℤring)))
16	10, 15	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {0, 1}))
17		zringring 20614	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
18		prfi 8787	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ Fin
19	17, 18	pm3.2i 473	. . 3 ⊢ (ℤring ∈ Ring ∧ {0, 1} ∈ Fin)
20		zlmodzxz.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
21		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
22	20, 21	frlmfibas 20900	. . 3 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ {0, 1} ∈ Fin) → ((Base‘ℤring) ↑m {0, 1}) = (Base‘𝑍))
23	19, 22	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((Base‘ℤring) ↑m {0, 1}) = (Base‘𝑍))
24	16, 23	eleqtrd 2915	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (Base‘𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  Vcvv 3495  {cpr 4563  ⟨cop 4567  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150   ↑_m cmap 8400  Fincfn 8503  0cc0 10531  1c1 10532  ℤcz 11975  Basecbs 16477  Ringcrg 19291  ℤ_ringzring 20611   freeLMod cfrlm 20884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-prds 16715  df-pws 16717  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-subg 18270  df-cmn 18902  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-subrg 19527  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-cnfld 20540  df-zring 20612  df-dsmm 20870  df-frlm 20885

This theorem is referenced by:  zlmodzxzscm  44398  zlmodzxzadd  44399  zlmodzxzsubm  44400  zlmodzxzsub  44401  zlmodzxzldeplem3  44550  zlmodzxzldep  44552  ldepsnlinclem1  44553  ldepsnlinclem2  44554  ldepsnlinc  44556