Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldeplem 41601
Description: A and B are not equal. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem 𝐴𝐵

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem
StepHypRef Expression
1 opex 4898 . . . . 5 ⟨0, 3⟩ ∈ V
2 opex 4898 . . . . 5 ⟨1, 6⟩ ∈ V
31, 2pm3.2i 471 . . . 4 (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V)
4 opex 4898 . . . . 5 ⟨0, 2⟩ ∈ V
5 opex 4898 . . . . 5 ⟨1, 4⟩ ∈ V
64, 5pm3.2i 471 . . . 4 (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)
73, 6pm3.2i 471 . . 3 ((⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V))
8 2re 11042 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
9 2lt3 11147 . . . . . . . 8 2 < 3
108, 9gtneii 10101 . . . . . . 7 3 ≠ 2
1110olci 406 . . . . . 6 (0 ≠ 0 ∨ 3 ≠ 2)
12 c0ex 9986 . . . . . . 7 0 ∈ V
13 3ex 11048 . . . . . . 7 3 ∈ V
1412, 13opthne 4916 . . . . . 6 (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 3 ≠ 2))
1511, 14mpbir 221 . . . . 5 ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩
16 0ne1 11040 . . . . . . 7 0 ≠ 1
1716orci 405 . . . . . 6 (0 ≠ 1 ∨ 3 ≠ 4)
1812, 13opthne 4916 . . . . . 6 (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 3 ≠ 4))
1917, 18mpbir 221 . . . . 5 ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩
2015, 19pm3.2i 471 . . . 4 (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)
2120orci 405 . . 3 ((⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, 6⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, 6⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))
22 prneimg 4361 . . 3 (((⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, 6⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, 6⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
237, 21, 22mp2 9 . 2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
24 zlmodzxzldep.a . . 3 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
25 zlmodzxzldep.b . . 3 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
2624, 25neeq12i 2856 . 2 (𝐴𝐵 ↔ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
2723, 26mpbir 221 1 𝐴𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3189  {cpr 4155  cop 4159  (class class class)co 6610  0cc0 9888  1c1 9889  2c2 11022  3c3 11023  4c4 11024  6c6 11026  ringzring 19750   freeLMod cfrlm 20022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-2 11031  df-3 11032
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem1  41603  zlmodzxzldeplem3  41605  zlmodzxzldeplem4  41606  ldepsnlinc  41611
  Copyright terms: Public domain W3C validator