Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldeplem1 42614
Description: Lemma 1 for zlmodzxzldep 42618. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem1 𝐹 ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem1
StepHypRef Expression
1 zex 11424 . 2 ℤ ∈ V
2 prex 4939 . 2 {𝐴, 𝐵} ∈ V
3 zlmodzxzldep.a . . . . . . . 8 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
4 prex 4939 . . . . . . . 8 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
53, 4eqeltri 2726 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
6 zlmodzxzldep.b . . . . . . . 8 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
7 prex 4939 . . . . . . . 8 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
86, 7eqeltri 2726 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
95, 8pm3.2i 470 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
109a1i 11 . . . . 5 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
11 2z 11447 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
12 3nn0 11348 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
1312nn0negzi 11454 . . . . . . 7 -3 ∈ ℤ
1411, 13pm3.2i 470 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ)
1514a1i 11 . . . . 5 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ))
16 zlmodzxzldep.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
1716, 3, 6zlmodzxzldeplem 42612 . . . . . 6 𝐴𝐵
1817a1i 11 . . . . 5 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐴𝐵)
19 fprg 6462 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
20 zlmodzxzldeplem.f . . . . . . 7 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
2120feq1i 6074 . . . . . 6 (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3} ↔ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
2219, 21sylibr 224 . . . . 5 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
2310, 15, 18, 22syl3anc 1366 . . . 4 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
24 prssi 4385 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) → {2, -3} ⊆ ℤ)
2511, 13, 24mp2an 708 . . . 4 {2, -3} ⊆ ℤ
26 fss 6094 . . . 4 ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3} ∧ {2, -3} ⊆ ℤ) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
2723, 25, 26sylancl 695 . . 3 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
28 elmapg 7912 . . 3 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (𝐹 ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵}) ↔ 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ))
2927, 28mpbird 247 . 2 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵}))
301, 2, 29mp2an 708 1 𝐹 ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  wss 3607  {cpr 4212  cop 4216  wf 5922  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  0cc0 9974  1c1 9975  -cneg 10305  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  6c6 11112  cz 11415  ringzring 19866   freeLMod cfrlm 20138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem2  42615  zlmodzxzldeplem3  42616  zlmodzxzldep  42618
  Copyright terms: Public domain W3C validator