Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldeplem1 44483
Description: Lemma 1 for zlmodzxzldep 44487. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem1 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem1
StepHypRef Expression
1 zex 11978 . 2 ℤ ∈ V
2 prex 5323 . 2 {𝐴, 𝐵} ∈ V
3 zlmodzxzldep.a . . . . . . . 8 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
4 prex 5323 . . . . . . . 8 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
53, 4eqeltri 2906 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
6 zlmodzxzldep.b . . . . . . . 8 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
7 prex 5323 . . . . . . . 8 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
86, 7eqeltri 2906 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
95, 8pm3.2i 471 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
109a1i 11 . . . . 5 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
11 2z 12002 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
12 3nn0 11903 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
1312nn0negzi 12009 . . . . . . 7 -3 ∈ ℤ
1411, 13pm3.2i 471 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ)
1514a1i 11 . . . . 5 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ))
16 zlmodzxzldep.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
1716, 3, 6zlmodzxzldeplem 44481 . . . . . 6 𝐴𝐵
1817a1i 11 . . . . 5 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐴𝐵)
19 fprg 6909 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
20 zlmodzxzldeplem.f . . . . . . 7 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
2120feq1i 6498 . . . . . 6 (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3} ↔ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
2219, 21sylibr 235 . . . . 5 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
2310, 15, 18, 22syl3anc 1363 . . . 4 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
24 prssi 4746 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) → {2, -3} ⊆ ℤ)
2511, 13, 24mp2an 688 . . . 4 {2, -3} ⊆ ℤ
26 fss 6520 . . . 4 ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3} ∧ {2, -3} ⊆ ℤ) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
2723, 25, 26sylancl 586 . . 3 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
28 elmapg 8408 . . 3 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) ↔ 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ))
2927, 28mpbird 258 . 2 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}))
301, 2, 29mp2an 688 1 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  Vcvv 3492  wss 3933  {cpr 4559  cop 4563  wf 6344  (class class class)co 7145  m cmap 8395  0cc0 10525  1c1 10526  -cneg 10859  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  6c6 11684  cz 11969  ringzring 20545   freeLMod cfrlm 20818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem2  44484  zlmodzxzldeplem3  44485  zlmodzxzldep  44487
  Copyright terms: Public domain W3C validator