Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldeplem3 42801
Description: Lemma 3 for zlmodzxzldep 42803. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem3 (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmodzxzldep.z . . . 4 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2 ovex 6841 . . . 4 (ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ V
31, 2eqeltri 2835 . . 3 𝑍 ∈ V
4 zlmodzxzldep.a . . . . 5 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
5 zlmodzxzldep.b . . . . 5 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
6 zlmodzxzldeplem.f . . . . 5 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
71, 4, 5, 6zlmodzxzldeplem1 42799 . . . 4 𝐹 ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵})
81zlmodzxzlmod 42642 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
9 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → ℤring = (Scalar‘𝑍))
109eqcomd 2766 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → (Scalar‘𝑍) = ℤring)
118, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑍) = ℤring
1211fveq2i 6355 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘ℤring)
13 zringbas 20026 . . . . . . 7 ℤ = (Base‘ℤring)
1413eqcomi 2769 . . . . . 6 (Base‘ℤring) = ℤ
1512, 14eqtri 2782 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑍)) = ℤ
1615oveq1i 6823 . . . 4 ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑𝑚 {𝐴, 𝐵}) = (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵})
177, 16eleqtrri 2838 . . 3 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑𝑚 {𝐴, 𝐵})
18 3z 11602 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
19 6nn 11381 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
2019nnzi 11593 . . . . . 6 6 ∈ ℤ
211zlmodzxzel 42643 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
2218, 20, 21mp2an 710 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
23 2z 11601 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
24 4z 11603 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
251zlmodzxzel 42643 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
2623, 24, 25mp2an 710 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
274eleq1i 2830 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ↔ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
285eleq1i 2830 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (Base‘𝑍) ↔ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
2927, 28anbi12i 735 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) ↔ ({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)))
3022, 26, 29mpbir2an 993 . . . 4 (𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍))
31 prelpwi 5064 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍))
3230, 31ax-mp 5 . . 3 {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)
33 lincval 42708 . . 3 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑𝑚 {𝐴, 𝐵}) ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑍)𝑥))))
343, 17, 32, 33mp3an 1573 . 2 (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑍)𝑥)))
35 lmodcmn 19113 . . . . 5 (𝑍 ∈ LMod → 𝑍 ∈ CMnd)
3635adantr 472 . . . 4 ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → 𝑍 ∈ CMnd)
378, 36ax-mp 5 . . 3 𝑍 ∈ CMnd
38 prex 5058 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
394, 38eqeltri 2835 . . . 4 𝐴 ∈ V
40 prex 5058 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
415, 40eqeltri 2835 . . . 4 𝐵 ∈ V
421, 4, 5zlmodzxzldeplem 42797 . . . 4 𝐴𝐵
4339, 41, 423pm3.2i 1424 . . 3 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵)
448simpli 476 . . . . 5 𝑍 ∈ LMod
45 elmapi 8045 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵}) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
4639prid1 4441 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}
47 ffvelrn 6520 . . . . . . . 8 ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ ∧ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐹𝐴) ∈ ℤ)
4846, 47mpan2 709 . . . . . . 7 (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ → (𝐹𝐴) ∈ ℤ)
497, 45, 48mp2b 10 . . . . . 6 (𝐹𝐴) ∈ ℤ
508, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ring = (Scalar‘𝑍)
5150eqcomi 2769 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑍) = ℤring
5251fveq2i 6355 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘ℤring)
5352, 14eqtri 2782 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑍)) = ℤ
5449, 53eleqtrri 2838 . . . . 5 (𝐹𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍))
554, 22eqeltri 2835 . . . . 5 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
56 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
57 eqid 2760 . . . . . 6 (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑍)
58 eqid 2760 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑍) = ( ·𝑠𝑍)
59 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘(Scalar‘𝑍))
6056, 57, 58, 59lmodvscl 19082 . . . . 5 ((𝑍 ∈ LMod ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍))
6144, 54, 55, 60mp3an 1573 . . . 4 ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍)
6241prid2 4442 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}
63 ffvelrn 6520 . . . . . . . 8 ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
6462, 63mpan2 709 . . . . . . 7 (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ → (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
657, 45, 64mp2b 10 . . . . . 6 (𝐹𝐵) ∈ ℤ
6665, 53eleqtrri 2838 . . . . 5 (𝐹𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍))
675, 26eqeltri 2835 . . . . 5 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
6856, 57, 58, 59lmodvscl 19082 . . . . 5 ((𝑍 ∈ LMod ∧ (𝐹𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))
6944, 66, 67, 68mp3an 1573 . . . 4 ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍)
7061, 69pm3.2i 470 . . 3 (((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))
71 eqid 2760 . . . 4 (+g𝑍) = (+g𝑍)
72 fveq2 6352 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
73 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
7472, 73oveq12d 6831 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑍)𝑥) = ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴))
75 fveq2 6352 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
76 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
7775, 76oveq12d 6831 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑍)𝑥) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
7856, 71, 74, 77gsumpr 42649 . . 3 ((𝑍 ∈ CMnd ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ (((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))) → (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑍)𝑥))) = (((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴)(+g𝑍)((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵)))
7937, 43, 70, 78mp3an 1573 . 2 (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑍)𝑥))) = (((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴)(+g𝑍)((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
806fveq1i 6353 . . . . . 6 (𝐹𝐴) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴)
81 2ex 11284 . . . . . . . 8 2 ∈ V
8239, 81fvpr1 6620 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
8342, 82ax-mp 5 . . . . . 6 ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2
8480, 83eqtri 2782 . . . . 5 (𝐹𝐴) = 2
8584oveq1i 6823 . . . 4 ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) = (2( ·𝑠𝑍)𝐴)
866fveq1i 6353 . . . . . 6 (𝐹𝐵) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵)
87 negex 10471 . . . . . . . 8 -3 ∈ V
8841, 87fvpr2 6621 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵) = -3)
8942, 88ax-mp 5 . . . . . 6 ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵) = -3
9086, 89eqtri 2782 . . . . 5 (𝐹𝐵) = -3
9190oveq1i 6823 . . . 4 ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) = (-3( ·𝑠𝑍)𝐵)
9285, 91oveq12i 6825 . . 3 (((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴)(+g𝑍)((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵)) = ((2( ·𝑠𝑍)𝐴)(+g𝑍)(-3( ·𝑠𝑍)𝐵))
93 eqid 2760 . . . . . 6 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
941, 93zlmodzxz0 42644 . . . . 5 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = (0g𝑍)
9594eqcomi 2769 . . . 4 (0g𝑍) = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
961, 4, 5, 95, 71, 58zlmodzxzequap 42798 . . 3 ((2( ·𝑠𝑍)𝐴)(+g𝑍)(-3( ·𝑠𝑍)𝐵)) = (0g𝑍)
9792, 96eqtri 2782 . 2 (((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴)(+g𝑍)((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵)) = (0g𝑍)
9834, 79, 973eqtri 2786 1 (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  𝒫 cpw 4302  {cpr 4323  cop 4327  cmpt 4881  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑚 cmap 8023  0cc0 10128  1c1 10129  -cneg 10459  2c2 11262  3c3 11263  4c4 11264  6c6 11266  cz 11569  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  Scalarcsca 16146   ·𝑠 cvsca 16147  0gc0g 16302   Σg cgsu 16303  CMndccmn 18393  LModclmod 19065  ringzring 20020   freeLMod cfrlm 20292   linC clinc 42703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-prds 16310  df-pws 16312  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-cnfld 19949  df-zring 20021  df-dsmm 20278  df-frlm 20293  df-linc 42705
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  42803
  Copyright terms: Public domain W3C validator