Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldeplem4 42771
Description: Lemma 4 for zlmodzxzldep 42772. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem4 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹𝑦) ≠ 0
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem4
StepHypRef Expression
1 zlmodzxzldep.a . . 3 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
2 prex 5046 . . 3 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
31, 2eqeltri 2823 . 2 𝐴 ∈ V
4 zlmodzxzldep.b . . 3 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
5 prex 5046 . . 3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
64, 5eqeltri 2823 . 2 𝐵 ∈ V
7 2ne0 11276 . . . . 5 2 ≠ 0
8 zlmodzxzldeplem.f . . . . . . . 8 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
98fveq1i 6341 . . . . . . 7 (𝐹𝐴) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴)
10 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
1110, 1, 4zlmodzxzldeplem 42766 . . . . . . . 8 𝐴𝐵
12 2ex 11255 . . . . . . . . 9 2 ∈ V
133, 12fvpr1 6608 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
1411, 13mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
159, 14syl5eq 2794 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹𝐴) = 2)
1615neeq1d 2979 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐹𝐴) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0))
177, 16mpbiri 248 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹𝐴) ≠ 0)
1817orcd 406 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐹𝐴) ≠ 0 ∨ (𝐹𝐵) ≠ 0))
19 fveq2 6340 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
2019neeq1d 2979 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹𝐴) ≠ 0))
21 fveq2 6340 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
2221neeq1d 2979 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐹𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹𝐵) ≠ 0))
2320, 22rexprg 4367 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹𝑦) ≠ 0 ↔ ((𝐹𝐴) ≠ 0 ∨ (𝐹𝐵) ≠ 0)))
2418, 23mpbird 247 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹𝑦) ≠ 0)
253, 6, 24mp2an 710 1 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹𝑦) ≠ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 382  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  wrex 3039  Vcvv 3328  {cpr 4311  cop 4315  cfv 6037  (class class class)co 6801  0cc0 10099  1c1 10100  -cneg 10430  2c2 11233  3c3 11234  4c4 11235  6c6 11237  ringzring 19991   freeLMod cfrlm 20263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-po 5175  df-so 5176  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-2 11242  df-3 11243
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  42772
  Copyright terms: Public domain W3C validator