Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzsub 42666
Description: The subtraction of the -module ℤ × ℤ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxz.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzsub.m = (-g𝑍)
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzsub (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩})

Proof of Theorem zlmodzxzsub
StepHypRef Expression
1 zsubcl 11631 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
2 simpr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
31, 2jca 555 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
4 zsubcl 11631 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶𝐷) ∈ ℤ)
5 simpr 479 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
64, 5jca 555 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
7 zlmodzxz.z . . . . 5 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
8 eqid 2760 . . . . 5 (+g𝑍) = (+g𝑍)
97, 8zlmodzxzadd 42664 . . . 4 ((((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐶𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, ((𝐴𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶𝐷) + 𝐷)⟩})
103, 6, 9syl2an 495 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, ((𝐴𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶𝐷) + 𝐷)⟩})
11 zcn 11594 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
12 zcn 11594 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
13 npcan 10502 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
1411, 12, 13syl2an 495 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
1514adantr 472 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
1615opeq2d 4560 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ⟨0, ((𝐴𝐵) + 𝐵)⟩ = ⟨0, 𝐴⟩)
17 zcn 11594 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
18 zcn 11594 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
19 npcan 10502 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐶𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
2017, 18, 19syl2an 495 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
2120adantl 473 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐶𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
2221opeq2d 4560 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ⟨1, ((𝐶𝐷) + 𝐷)⟩ = ⟨1, 𝐶⟩)
2316, 22preq12d 4420 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, ((𝐴𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶𝐷) + 𝐷)⟩} = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩})
2410, 23eqtrd 2794 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩})
257zlmodzxzlmod 42660 . . . 4 (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
26 lmodgrp 19092 . . . . 5 (𝑍 ∈ LMod → 𝑍 ∈ Grp)
2726adantr 472 . . . 4 ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → 𝑍 ∈ Grp)
2825, 27mp1i 13 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ Grp)
297zlmodzxzel 42661 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
3029ad2ant2r 800 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
317zlmodzxzel 42661 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
322, 5, 31syl2an 495 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
337zlmodzxzel 42661 . . . 4 (((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℤ) → {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))
341, 4, 33syl2an 495 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))
35 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
36 zlmodzxzsub.m . . . 4 = (-g𝑍)
3735, 8, 36grpsubadd 17724 . . 3 ((𝑍 ∈ Grp ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ↔ ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
3828, 30, 32, 34, 37syl13anc 1479 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ↔ ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
3924, 38mpbird 247 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  {cpr 4323  cop 4327  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151  cmin 10478  cz 11589  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  Scalarcsca 16166  Grpcgrp 17643  -gcsg 17645  LModclmod 19085  ringzring 20040   freeLMod cfrlm 20312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-0g 16324  df-prds 16330  df-pws 16332  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cmn 18415  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-cnfld 19969  df-zring 20041  df-dsmm 20298  df-frlm 20313
This theorem is referenced by:  zlmodzxzequa  42813
  Copyright terms: Public domain W3C validator