Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzsub 41426
Description: The subtraction of the -module ℤ × ℤ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxz.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzsub.m = (-g𝑍)
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzsub (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩})

Proof of Theorem zlmodzxzsub
StepHypRef Expression
1 zsubcl 11363 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
2 simpr 477 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
31, 2jca 554 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
4 zsubcl 11363 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶𝐷) ∈ ℤ)
5 simpr 477 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
64, 5jca 554 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
7 zlmodzxz.z . . . . 5 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
8 eqid 2621 . . . . 5 (+g𝑍) = (+g𝑍)
97, 8zlmodzxzadd 41424 . . . 4 ((((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐶𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, ((𝐴𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶𝐷) + 𝐷)⟩})
103, 6, 9syl2an 494 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, ((𝐴𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶𝐷) + 𝐷)⟩})
11 zcn 11326 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
12 zcn 11326 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
13 npcan 10234 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
1411, 12, 13syl2an 494 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
1514adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
1615opeq2d 4377 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ⟨0, ((𝐴𝐵) + 𝐵)⟩ = ⟨0, 𝐴⟩)
17 zcn 11326 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
18 zcn 11326 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
19 npcan 10234 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐶𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
2017, 18, 19syl2an 494 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
2120adantl 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐶𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
2221opeq2d 4377 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ⟨1, ((𝐶𝐷) + 𝐷)⟩ = ⟨1, 𝐶⟩)
2316, 22preq12d 4246 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, ((𝐴𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶𝐷) + 𝐷)⟩} = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩})
2410, 23eqtrd 2655 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩})
257zlmodzxzlmod 41420 . . . 4 (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
26 lmodgrp 18791 . . . . 5 (𝑍 ∈ LMod → 𝑍 ∈ Grp)
2726adantr 481 . . . 4 ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → 𝑍 ∈ Grp)
2825, 27mp1i 13 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ Grp)
297zlmodzxzel 41421 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
3029ad2ant2r 782 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
317zlmodzxzel 41421 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
322, 5, 31syl2an 494 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
337zlmodzxzel 41421 . . . 4 (((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℤ) → {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))
341, 4, 33syl2an 494 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))
35 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
36 zlmodzxzsub.m . . . 4 = (-g𝑍)
3735, 8, 36grpsubadd 17424 . . 3 ((𝑍 ∈ Grp ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ↔ ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
3828, 30, 32, 34, 37syl13anc 1325 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ↔ ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
3924, 38mpbird 247 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {cpr 4150  cop 4154  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  cmin 10210  cz 11321  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  Scalarcsca 15865  Grpcgrp 17343  -gcsg 17345  LModclmod 18784  ringzring 19737   freeLMod cfrlm 20009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cmn 18116  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-cnfld 19666  df-zring 19738  df-dsmm 19995  df-frlm 20010
This theorem is referenced by:  zlmodzxzequa  41573
  Copyright terms: Public domain W3C validator