Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlmvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmvsca 19789
 Description: Scalar multiplication operation of a ℤ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmbas.w 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmvsca.2 · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
zlmvsca · = ( ·𝑠𝑊)

Proof of Theorem zlmvsca
StepHypRef Expression
1 zlmbas.w . . . . 5 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2 zlmvsca.2 . . . . 5 · = (.g𝐺)
31, 2zlmval 19783 . . . 4 (𝐺 ∈ V → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))
43fveq2d 6152 . . 3 (𝐺 ∈ V → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠 ‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩)))
5 ovex 6632 . . . 4 (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V
6 fvex 6158 . . . . 5 (.g𝐺) ∈ V
72, 6eqeltri 2694 . . . 4 · ∈ V
8 vscaid 15937 . . . . 5 ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
98setsid 15835 . . . 4 (((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V ∧ · ∈ V) → · = ( ·𝑠 ‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩)))
105, 7, 9mp2an 707 . . 3 · = ( ·𝑠 ‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))
114, 10syl6reqr 2674 . 2 (𝐺 ∈ V → · = ( ·𝑠𝑊))
128str0 15832 . . 3 ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
13 fvprc 6142 . . . 4 𝐺 ∈ V → (.g𝐺) = ∅)
142, 13syl5eq 2667 . . 3 𝐺 ∈ V → · = ∅)
15 fvprc 6142 . . . . 5 𝐺 ∈ V → (ℤMod‘𝐺) = ∅)
161, 15syl5eq 2667 . . . 4 𝐺 ∈ V → 𝑊 = ∅)
1716fveq2d 6152 . . 3 𝐺 ∈ V → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠 ‘∅))
1812, 14, 173eqtr4a 2681 . 2 𝐺 ∈ V → · = ( ·𝑠𝑊))
1911, 18pm2.61i 176 1 · = ( ·𝑠𝑊)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186  ∅c0 3891  ⟨cop 4154  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ndxcnx 15778   sSet csts 15779  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  .gcmg 17461  ℤringzring 19737  ℤModczlm 19768 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-sets 15787  df-vsca 15879  df-zlm 19772 This theorem is referenced by:  zlmlmod  19790  zlmassa  19791  clmzlmvsca  22821  nmmulg  29791  cnzh  29793  rezh  29794
 Copyright terms: Public domain W3C validator