Theorem zlmvsca 20671

Description: Scalar multiplication operation of a ℤ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmvsca.2	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmvsca	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Proof of Theorem zlmvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmbas.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2		zlmvsca.2	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3	1, 2	zlmval 20665	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))
4	3	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩)))
5		ovex 7191	. . . 4 ⊢ (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V
6	2	fvexi 6686	. . . 4 ⊢ · ∈ V
7		vscaid 16637	. . . . 5 ⊢ ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
8	7	setsid 16540	. . . 4 ⊢ (((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V ∧ · ∈ V) → · = ( ·𝑠 ‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩)))
9	5, 6, 8	mp2an 690	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))
10	4, 9	syl6reqr 2877	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
11	7	str0 16537	. . 3 ⊢ ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
12		fvprc 6665	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (.g‘𝐺) = ∅)
13	2, 12	syl5eq 2870	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → · = ∅)
14		fvprc 6665	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (ℤMod‘𝐺) = ∅)
15	1, 14	syl5eq 2870	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑊 = ∅)
16	15	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘∅))
17	11, 13, 16	3eqtr4a 2884	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
18	10, 17	pm2.61i 184	1 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496  ∅c0 4293  ⟨cop 4575  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ndxcnx 16482   sSet csts 16483  Scalarcsca 16570   ·_𝑠 cvsca 16571  ._gcmg 18226  ℤ_ringzring 20619  ℤModczlm 20650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-1cn 10597  ax-addcl 10599

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-sets 16492  df-vsca 16584  df-zlm 20654

This theorem is referenced by:  zlmlmod  20672  zlmassa  20673  clmzlmvsca  23719  nmmulg  31211  cnzh  31213  rezh  31214