MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zltp1le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zltp1le 11465
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zltp1le ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem zltp1le
StepHypRef Expression
1 nnge1 11084 . . . 4 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁𝑀))
21a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁𝑀)))
3 znnsub 11461 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
4 zre 11419 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5 zre 11419 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 1re 10077 . . . . 5 1 ∈ ℝ
7 leaddsub2 10543 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁𝑀)))
86, 7mp3an2 1452 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁𝑀)))
94, 5, 8syl2an 493 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁𝑀)))
102, 3, 93imtr4d 283 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
114adantr 480 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
1211ltp1d 10992 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
13 peano2re 10247 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
1411, 13syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
155adantl 481 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
16 ltletr 10167 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
1711, 14, 15, 16syl3anc 1366 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
1812, 17mpand 711 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁𝑀 < 𝑁))
1910, 18impbid 202 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416
This theorem is referenced by:  zleltp1  11466  zlem1lt  11467  zgt0ge1  11469  nnltp1le  11471  nn0ltp1le  11473  btwnnz  11491  uzind2  11508  fzind  11513  eluzp1l  11750  eluz2b1  11797  zltaddlt1le  12362  fzsplit2  12404  m1modge3gt1  12757  bcval5  13145  seqcoll  13286  hashge2el2dif  13300  hashge2el2difr  13301  swrd2lsw  13741  2swrd2eqwrdeq  13742  isercoll  14442  nn0o1gt2  15144  divalglem6  15168  isprm3  15443  dvdsnprmd  15450  prmgt1  15456  oddprmge3  15459  hashdvds  15527  prmreclem5  15671  prmgaplem3  15804  prmgaplem5  15806  prmgaplem6  15807  prmgaplem8  15809  sylow1lem3  18061  chfacfscmul0  20711  chfacfscmulfsupp  20712  chfacfpmmul0  20715  chfacfpmmulfsupp  20716  dyaddisjlem  23409  plyeq0lem  24011  basellem2  24853  chtub  24982  bposlem9  25062  lgsdilem2  25103  lgsquadlem1  25150  2lgslem1a  25161  pntpbnd1  25320  pntpbnd2  25321  tgldimor  25442  eucrct2eupth  27223  konigsberglem5  27234  nndiffz1  29676  ltesubnnd  29696  dp2ltc  29722  smatrcl  29990  breprexplemc  30838  dnibndlem13  32605  knoppndvlem6  32633  poimirlem3  33542  poimirlem4  33543  poimirlem15  33554  poimirlem17  33556  poimirlem28  33567  ellz1  37647  lzunuz  37648  rmygeid  37848  jm3.1lem2  37902  bccbc  38861  elfzop1le2  39816  monoords  39825  fmul01lt1lem1  40134  dvnxpaek  40475  iblspltprt  40507  itgspltprt  40513  fourierdlem6  40648  fourierdlem12  40654  fourierdlem19  40661  fourierdlem42  40684  fourierdlem48  40689  fourierdlem49  40690  fourierdlem79  40720  iccpartiltu  41683  iccpartgt  41688  icceuelpartlem  41696  iccpartnel  41699  lighneallem4b  41851  evenltle  41951  gbowge7  41976  gbege6  41978  stgoldbwt  41989  sbgoldbwt  41990  sbgoldbalt  41994  sbgoldbm  41997  bgoldbtbndlem1  42018  tgblthelfgott  42028  tgblthelfgottOLD  42034  elfzolborelfzop1  42634
  Copyright terms: Public domain W3C validator