MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmax 11729
Description: There is a unique largest integer less than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zmax (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zmax
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 10288 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2 zmin 11728 . . 3 (-𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)))
4 zre 11325 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
5 leneg 10475 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
64, 5sylan 488 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
76ancoms 469 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
8 znegcl 11356 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℤ → -𝑤 ∈ ℤ)
9 breq1 4616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = -𝑤 → (𝑦𝐴 ↔ -𝑤𝐴))
10 breq1 4616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = -𝑤 → (𝑦𝑥 ↔ -𝑤𝑥))
119, 10imbi12d 334 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = -𝑤 → ((𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ (-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥)))
1211rspcv 3291 . . . . . . . . . 10 (-𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → (-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥)))
138, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → (-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥)))
14 zre 11325 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℤ → 𝑤 ∈ ℝ)
15 lenegcon1 10476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (-𝑤𝐴 ↔ -𝐴𝑤))
1615adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (-𝑤𝐴 ↔ -𝐴𝑤))
17 lenegcon1 10476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑤𝑥 ↔ -𝑥𝑤))
184, 17sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝑤𝑥 ↔ -𝑥𝑤))
1918adantrl 751 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (-𝑤𝑥 ↔ -𝑥𝑤))
2016, 19imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) ↔ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
2114, 20sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) ↔ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
2221biimpd 219 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
2322ex 450 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
2423com23 86 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℤ → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
2513, 24syld 47 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
2625com13 88 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → (𝑤 ∈ ℤ → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
2726ralrimdv 2962 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
28 znegcl 11356 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
29 breq2 4617 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑦 → (-𝐴𝑤 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
30 breq2 4617 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑦 → (-𝑥𝑤 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
3129, 30imbi12d 334 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = -𝑦 → ((-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
3231rspcv 3291 . . . . . . . . . 10 (-𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
3328, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
34 zre 11325 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
35 leneg 10475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
3635adantrr 752 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑦𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
37 leneg 10475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
384, 37sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
3938adantrl 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑦𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
4036, 39imbi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
4134, 40sylan 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
4241exbiri 651 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦) → (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
4342com23 86 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → ((-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
4433, 43syld 47 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
4544com13 88 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
4645ralrimdv 2962 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)))
4727, 46impbid 202 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
487, 47anbi12d 746 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
4948reubidva 3114 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
50 znegcl 11356 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
51 znegcl 11356 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ → -𝑧 ∈ ℤ)
52 zcn 11326 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
53 zcn 11326 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
54 negcon2 10278 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 = -𝑥𝑥 = -𝑧))
5552, 53, 54syl2an 494 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑧 = -𝑥𝑥 = -𝑧))
5651, 55reuhyp 4856 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = -𝑥)
57 breq2 4617 . . . . 5 (𝑧 = -𝑥 → (-𝐴𝑧 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
58 breq1 4616 . . . . . . 7 (𝑧 = -𝑥 → (𝑧𝑤 ↔ -𝑥𝑤))
5958imbi2d 330 . . . . . 6 (𝑧 = -𝑥 → ((-𝐴𝑤𝑧𝑤) ↔ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
6059ralbidv 2980 . . . . 5 (𝑧 = -𝑥 → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
6157, 60anbi12d 746 . . . 4 (𝑧 = -𝑥 → ((-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
6250, 56, 61reuxfr 4854 . . 3 (∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
6349, 62syl6rbbr 279 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
643, 63mpbid 222 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  ∃!wreu 2909   class class class wbr 4613  cc 9878  cr 9879  cle 10019  -cneg 10211  cz 11321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632
This theorem is referenced by:  flval2  12555
  Copyright terms: Public domain W3C validator