MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmax 12333
Description: There is a unique largest integer less than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zmax (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zmax
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 10937 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2 zmin 12332 . . 3 (-𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)))
4 zre 11973 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
5 leneg 11131 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
64, 5sylan 580 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
76ancoms 459 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
8 znegcl 12005 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℤ → -𝑤 ∈ ℤ)
9 breq1 5060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = -𝑤 → (𝑦𝐴 ↔ -𝑤𝐴))
10 breq1 5060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = -𝑤 → (𝑦𝑥 ↔ -𝑤𝑥))
119, 10imbi12d 346 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = -𝑤 → ((𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ (-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥)))
1211rspcv 3615 . . . . . . . . . 10 (-𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → (-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥)))
138, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → (-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥)))
14 zre 11973 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℤ → 𝑤 ∈ ℝ)
15 lenegcon1 11132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (-𝑤𝐴 ↔ -𝐴𝑤))
1615adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (-𝑤𝐴 ↔ -𝐴𝑤))
17 lenegcon1 11132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑤𝑥 ↔ -𝑥𝑤))
184, 17sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝑤𝑥 ↔ -𝑥𝑤))
1918adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (-𝑤𝑥 ↔ -𝑥𝑤))
2016, 19imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) ↔ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
2114, 20sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) ↔ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
2221biimpd 230 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
2322ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
2423com23 86 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℤ → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
2513, 24syld 47 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
2625com13 88 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → (𝑤 ∈ ℤ → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
2726ralrimdv 3185 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
28 znegcl 12005 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
29 breq2 5061 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑦 → (-𝐴𝑤 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
30 breq2 5061 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑦 → (-𝑥𝑤 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
3129, 30imbi12d 346 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = -𝑦 → ((-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
3231rspcv 3615 . . . . . . . . . 10 (-𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
3328, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
34 zre 11973 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
35 leneg 11131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
3635adantrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑦𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
37 leneg 11131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
384, 37sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
3938adantrl 712 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑦𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
4036, 39imbi12d 346 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
4134, 40sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
4241exbiri 807 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦) → (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
4342com23 86 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → ((-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
4433, 43syld 47 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
4544com13 88 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
4645ralrimdv 3185 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)))
4727, 46impbid 213 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
487, 47anbi12d 630 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
4948reubidva 3386 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
50 znegcl 12005 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
51 znegcl 12005 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ → -𝑧 ∈ ℤ)
52 zcn 11974 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
53 zcn 11974 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
54 negcon2 10927 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 = -𝑥𝑥 = -𝑧))
5552, 53, 54syl2an 595 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑧 = -𝑥𝑥 = -𝑧))
5651, 55reuhyp 5311 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = -𝑥)
57 breq2 5061 . . . . 5 (𝑧 = -𝑥 → (-𝐴𝑧 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
58 breq1 5060 . . . . . . 7 (𝑧 = -𝑥 → (𝑧𝑤 ↔ -𝑥𝑤))
5958imbi2d 342 . . . . . 6 (𝑧 = -𝑥 → ((-𝐴𝑤𝑧𝑤) ↔ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
6059ralbidv 3194 . . . . 5 (𝑧 = -𝑥 → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
6157, 60anbi12d 630 . . . 4 (𝑧 = -𝑥 → ((-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
6250, 56, 61reuxfr1 3740 . . 3 (∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
6349, 62syl6rbbr 291 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
643, 63mpbid 233 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  ∃!wreu 3137   class class class wbr 5057  cc 10523  cr 10524  cle 10664  -cneg 10859  cz 11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232
This theorem is referenced by:  flval2  13172
  Copyright terms: Public domain W3C validator