MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmodid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmodid2 12884
Description: Identity law for modulo restricted to integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
zmodid2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem zmodid2
StepHypRef Expression
1 zre 11565 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2 nnrp 12027 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
3 modid2 12883 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
41, 2, 3syl2an 495 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
5 nnz 11583 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
6 0z 11572 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
7 elfzm11 12596 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
86, 7mpan 708 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
9 3anass 1081 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
108, 9syl6bb 276 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁))))
115, 10syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁))))
12 ibar 526 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁))))
1312bicomd 213 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)) ↔ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
1411, 13sylan9bbr 739 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
154, 14bitr4d 271 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131   class class class wbr 4796  (class class class)co 6805  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   < clt 10258  cle 10259  cmin 10450  cn 11204  cz 11561  +crp 12017  ...cfz 12511   mod cmo 12854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fl 12779  df-mod 12855
This theorem is referenced by:  zmodidfzo  12885  crctcshwlkn0lem4  26908
  Copyright terms: Public domain W3C validator