MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmulcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmulcld 11322
Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
zmulcld (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 zaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3 zmulcl 11261 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
41, 2, 3syl2anc 690 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  (class class class)co 6526   · cmul 9797  cz 11212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-n0 11142  df-z 11213
This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  12449  flhalf  12450  quoremz  12473  intfracq  12477  zmodcl  12509  modmul1  12542  sqoddm1div8  12847  eirrlem  14719  modmulconst  14799  dvds2ln  14800  dvdsmod  14836  3dvds  14838  3dvdsOLD  14839  even2n  14852  mod2eq1n2dvds  14857  2tp1odd  14862  ltoddhalfle  14871  m1expo  14878  m1exp1  14879  modremain  14918  flodddiv4  14923  bits0e  14937  bits0o  14938  bitsp1e  14940  bitsp1o  14941  bitsmod  14944  bitscmp  14946  bitsinv1lem  14949  bitsuz  14982  bitsshft  14983  smumullem  15000  smumul  15001  bezoutlem3  15044  bezoutlem4  15045  mulgcd  15051  dvdsmulgcd  15060  bezoutr  15067  lcmgcdlem  15105  mulgcddvds  15155  rpmulgcd2  15156  coprmprod  15161  divgcdcoprm0  15165  cncongr1  15167  cncongr2  15168  exprmfct  15202  hashdvds  15266  eulerthlem1  15272  eulerthlem2  15273  prmdiv  15276  prmdiveq  15277  pcpremul  15334  pcqmul  15344  pcaddlem  15378  prmpwdvds  15394  4sqlem5  15432  4sqlem10  15437  4sqlem14  15448  mulgass  17350  mulgmodid  17352  odmod  17736  odmulgid  17742  odbezout  17746  gexdvds  17770  odadd1  18022  odadd2  18023  torsubg  18028  ablfacrp  18236  pgpfac1lem2  18245  pgpfac1lem3a  18246  pgpfac1lem3  18247  znunit  19678  znrrg  19680  dyaddisjlem  23113  elqaalem3  23824  aalioulem1  23835  aaliou3lem2  23846  aaliou3lem8  23848  dvdsmulf1o  24664  lgsdirprm  24800  lgsdir  24801  lgsdilem2  24802  lgsdi  24803  gausslemma2dlem1a  24834  gausslemma2dlem5a  24839  gausslemma2dlem5  24840  gausslemma2dlem6  24841  gausslemma2dlem7  24842  gausslemma2d  24843  lgseisenlem1  24844  lgseisenlem2  24845  lgseisenlem3  24846  lgseisenlem4  24847  lgsquadlem1  24849  lgsquad2lem1  24853  lgsquad3  24856  2lgslem1a1  24858  2lgslem1a2  24859  2lgslem1b  24861  2lgslem3b1  24870  2lgslem3c1  24871  2lgsoddprmlem2  24878  2sqlem3  24889  2sqlem4  24890  2sqblem  24900  ex-ind-dvds  26503  2sqmod  28772  qqhghm  29153  qqhrhm  29154  dvdspw  30682  knoppndvlem2  31467  pellexlem5  36198  pellexlem6  36199  pell1234qrmulcl  36220  congmul  36335  jm2.18  36356  jm2.19lem1  36357  jm2.19lem2  36358  jm2.19lem3  36359  jm2.19lem4  36360  jm2.22  36363  jm2.23  36364  jm2.20nn  36365  jm2.25  36367  jm2.15nn0  36371  jm2.16nn0  36372  jm2.27c  36375  jm3.1lem3  36387  jm3.1  36388  expdiophlem1  36389  inductionexd  37256  sumnnodd  38480  wallispilem4  38744  stirlinglem3  38752  stirlinglem7  38756  stirlinglem10  38759  stirlinglem11  38760  dirkertrigeqlem1  38774  dirkertrigeqlem3  38776  dirkertrigeq  38777  dirkercncflem2  38780  fourierswlem  38906  fouriersw  38907  etransclem3  38913  etransclem7  38917  etransclem10  38920  etransclem25  38935  etransclem26  38936  etransclem27  38937  etransclem28  38938  etransclem35  38945  etransclem37  38947  etransclem44  38954  etransclem45  38955  fmtnoprmfac2lem1  39800  fmtno4prmfac  39806  2pwp1prm  39825  mod42tp1mod8  39841  lighneallem4b  39848  lighneallem4  39849  2zlidl  41705  dignn0fr  42174  dignn0flhalflem1  42188
  Copyright terms: Public domain W3C validator