Theorem zmulcld 12096

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12034	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158   · cmul 10544  ℤcz 11984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  13202  flhalf  13203  quoremz  13226  intfracq  13230  zmodcl  13262  modmul1  13295  sqoddm1div8  13607  eirrlem  15559  modmulconst  15643  dvds2ln  15644  dvdsmod  15680  3dvds  15682  even2n  15693  mod2eq1n2dvds  15698  2tp1odd  15703  ltoddhalfle  15712  m1expo  15728  m1exp1  15729  modremain  15761  flodddiv4  15766  bits0e  15780  bits0o  15781  bitsp1e  15783  bitsp1o  15784  bitsmod  15787  bitscmp  15789  bitsinv1lem  15792  bitsuz  15825  bitsshft  15826  smumullem  15843  smumul  15844  gcdmultipled  15884  bezoutlem3  15891  bezoutlem4  15892  mulgcd  15898  dvdsmulgcd  15907  bezoutr  15914  lcmgcdlem  15952  mulgcddvds  16001  rpmulgcd2  16002  coprmprod  16007  divgcdcoprm0  16011  cncongr1  16013  cncongr2  16014  exprmfct  16050  hashdvds  16114  eulerthlem1  16120  eulerthlem2  16121  prmdiv  16124  prmdiveq  16125  pcpremul  16182  pcqmul  16192  pcaddlem  16226  prmpwdvds  16242  4sqlem5  16280  4sqlem10  16285  4sqlem14  16296  mulgass  18266  mulgmodid  18268  odmod  18676  odmulgid  18683  odbezout  18687  gexdvds  18711  odadd1  18970  odadd2  18971  torsubg  18976  ablfacrp  19190  pgpfac1lem2  19199  pgpfac1lem3a  19200  pgpfac1lem3  19201  ablsimpgfindlem1  19231  znunit  20712  znrrg  20714  dyaddisjlem  24198  elqaalem3  24912  aalioulem1  24923  aaliou3lem2  24934  aaliou3lem8  24936  dvdsmulf1o  25773  lgsdirprm  25909  lgsdir  25910  lgsdilem2  25911  lgsdi  25912  gausslemma2dlem1a  25943  gausslemma2dlem5a  25948  gausslemma2dlem5  25949  gausslemma2dlem6  25950  gausslemma2dlem7  25951  gausslemma2d  25952  lgseisenlem1  25953  lgseisenlem2  25954  lgseisenlem3  25955  lgseisenlem4  25956  lgsquadlem1  25958  lgsquad2lem1  25962  lgsquad3  25965  2lgslem1a1  25967  2lgslem1a2  25968  2lgslem1b  25970  2lgslem3b1  25979  2lgslem3c1  25980  2lgsoddprmlem2  25987  2sqlem3  25998  2sqlem4  25999  2sqblem  26009  2sqmod  26014  ex-ind-dvds  28242  prmdvdsbc  30534  qqhghm  31231  qqhrhm  31232  breprexplemc  31905  circlemeth  31913  dvdspw  32984  knoppndvlem2  33854  pellexlem5  39437  pellexlem6  39438  pell1234qrmulcl  39459  congmul  39571  jm2.18  39592  jm2.19lem1  39593  jm2.19lem2  39594  jm2.19lem3  39595  jm2.19lem4  39596  jm2.22  39599  jm2.23  39600  jm2.20nn  39601  jm2.25  39603  jm2.15nn0  39607  jm2.16nn0  39608  jm2.27c  39611  jm3.1lem3  39623  jm3.1  39624  expdiophlem1  39625  inductionexd  40512  sumnnodd  41918  wallispilem4  42360  stirlinglem3  42368  stirlinglem7  42372  stirlinglem10  42375  stirlinglem11  42376  dirkertrigeqlem1  42390  dirkertrigeqlem3  42392  dirkertrigeq  42393  dirkercncflem2  42396  fourierswlem  42522  fouriersw  42523  etransclem3  42529  etransclem7  42533  etransclem10  42536  etransclem25  42551  etransclem26  42552  etransclem27  42553  etransclem28  42554  etransclem35  42561  etransclem37  42563  etransclem44  42570  etransclem45  42571  fmtnoprmfac2lem1  43735  fmtno4prmfac  43741  2pwp1prm  43758  mod42tp1mod8  43774  lighneallem4b  43781  lighneallem4  43782  m2even  43826  fppr2odd  43903  2zlidl  44212  dignn0fr  44668  dignn0flhalflem1  44682