MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmulcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmulcld 11526
Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
zmulcld (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 zaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3 zmulcl 11464 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
41, 2, 3syl2anc 694 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  (class class class)co 6690   · cmul 9979  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416
This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  12670  flhalf  12671  quoremz  12694  intfracq  12698  zmodcl  12730  modmul1  12763  sqoddm1div8  13068  eirrlem  14976  modmulconst  15060  dvds2ln  15061  dvdsmod  15097  3dvds  15099  3dvdsOLD  15100  even2n  15113  mod2eq1n2dvds  15118  2tp1odd  15123  ltoddhalfle  15132  m1expo  15139  m1exp1  15140  modremain  15179  flodddiv4  15184  bits0e  15198  bits0o  15199  bitsp1e  15201  bitsp1o  15202  bitsmod  15205  bitscmp  15207  bitsinv1lem  15210  bitsuz  15243  bitsshft  15244  smumullem  15261  smumul  15262  bezoutlem3  15305  bezoutlem4  15306  mulgcd  15312  dvdsmulgcd  15321  bezoutr  15328  lcmgcdlem  15366  mulgcddvds  15416  rpmulgcd2  15417  coprmprod  15422  divgcdcoprm0  15426  cncongr1  15428  cncongr2  15429  exprmfct  15463  hashdvds  15527  eulerthlem1  15533  eulerthlem2  15534  prmdiv  15537  prmdiveq  15538  pcpremul  15595  pcqmul  15605  pcaddlem  15639  prmpwdvds  15655  4sqlem5  15693  4sqlem10  15698  4sqlem14  15709  mulgass  17626  mulgmodid  17628  odmod  18011  odmulgid  18017  odbezout  18021  gexdvds  18045  odadd1  18297  odadd2  18298  torsubg  18303  ablfacrp  18511  pgpfac1lem2  18520  pgpfac1lem3a  18521  pgpfac1lem3  18522  znunit  19960  znrrg  19962  dyaddisjlem  23409  elqaalem3  24121  aalioulem1  24132  aaliou3lem2  24143  aaliou3lem8  24145  dvdsmulf1o  24965  lgsdirprm  25101  lgsdir  25102  lgsdilem2  25103  lgsdi  25104  gausslemma2dlem1a  25135  gausslemma2dlem5a  25140  gausslemma2dlem5  25141  gausslemma2dlem6  25142  gausslemma2dlem7  25143  gausslemma2d  25144  lgseisenlem1  25145  lgseisenlem2  25146  lgseisenlem3  25147  lgseisenlem4  25148  lgsquadlem1  25150  lgsquad2lem1  25154  lgsquad3  25157  2lgslem1a1  25159  2lgslem1a2  25160  2lgslem1b  25162  2lgslem3b1  25171  2lgslem3c1  25172  2lgsoddprmlem2  25179  2sqlem3  25190  2sqlem4  25191  2sqblem  25201  ex-ind-dvds  27448  2sqmod  29776  qqhghm  30160  qqhrhm  30161  breprexplemc  30838  circlemeth  30846  dvdspw  31762  knoppndvlem2  32629  pellexlem5  37714  pellexlem6  37715  pell1234qrmulcl  37736  congmul  37851  jm2.18  37872  jm2.19lem1  37873  jm2.19lem2  37874  jm2.19lem3  37875  jm2.19lem4  37876  jm2.22  37879  jm2.23  37880  jm2.20nn  37881  jm2.25  37883  jm2.15nn0  37887  jm2.16nn0  37888  jm2.27c  37891  jm3.1lem3  37903  jm3.1  37904  expdiophlem1  37905  inductionexd  38770  sumnnodd  40180  wallispilem4  40603  stirlinglem3  40611  stirlinglem7  40615  stirlinglem10  40618  stirlinglem11  40619  dirkertrigeqlem1  40633  dirkertrigeqlem3  40635  dirkertrigeq  40636  dirkercncflem2  40639  fourierswlem  40765  fouriersw  40766  etransclem3  40772  etransclem7  40776  etransclem10  40779  etransclem25  40794  etransclem26  40795  etransclem27  40796  etransclem28  40797  etransclem35  40804  etransclem37  40806  etransclem44  40813  etransclem45  40814  fmtnoprmfac2lem1  41803  fmtno4prmfac  41809  2pwp1prm  41828  mod42tp1mod8  41844  lighneallem4b  41851  lighneallem4  41852  2zlidl  42259  dignn0fr  42720  dignn0flhalflem1  42734
  Copyright terms: Public domain W3C validator