Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znbaslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znbaslem 19934
 Description: Lemma for znbas 19940. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
znval2.s 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval2.u 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval2.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znbaslem.e 𝐸 = Slot 𝐾
znbaslem.k 𝐾 ∈ ℕ
znbaslem.l 𝐾 < 10
Assertion
Ref Expression
znbaslem (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸𝑈) = (𝐸𝑌))

Proof of Theorem znbaslem
StepHypRef Expression
1 znval2.s . . . 4 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
2 znval2.u . . . 4 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
3 znval2.y . . . 4 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 eqid 2651 . . . 4 (le‘𝑌) = (le‘𝑌)
51, 2, 3, 4znval2 19933 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩))
65fveq2d 6233 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸𝑌) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩)))
7 znbaslem.e . . . 4 𝐸 = Slot 𝐾
8 znbaslem.k . . . 4 𝐾 ∈ ℕ
97, 8ndxid 15930 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
108nnrei 11067 . . . . 5 𝐾 ∈ ℝ
11 znbaslem.l . . . . 5 𝐾 < 10
1210, 11ltneii 10188 . . . 4 𝐾10
137, 8ndxarg 15929 . . . . 5 (𝐸‘ndx) = 𝐾
14 plendx 16094 . . . . 5 (le‘ndx) = 10
1513, 14neeq12i 2889 . . . 4 ((𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 𝐾10)
1612, 15mpbir 221 . . 3 (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)
179, 16setsnid 15962 . 2 (𝐸𝑈) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩))
186, 17syl6reqr 2704 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸𝑈) = (𝐸𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  {csn 4210  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  ;cdc 11531  ndxcnx 15901   sSet csts 15902  Slot cslot 15903  lecple 15995   /s cqus 16212   ~QG cqg 17637  RSpancrsp 19219  ℤringzring 19866  ℤ/nℤczn 19899 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-subrg 18826  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zn 19903 This theorem is referenced by:  znbas2  19936  znadd  19937  znmul  19938
 Copyright terms: Public domain W3C validator