MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zndvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zndvds 19812
Description: Express equality of equivalence classes in ℤ / 𝑛 in terms of divisibility. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zncyg.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
zndvds.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
zndvds ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = (𝐿𝐵) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))

Proof of Theorem zndvds
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqcom 2633 . 2 ((𝐿𝐴) = (𝐿𝐵) ↔ (𝐿𝐵) = (𝐿𝐴))
2 eqid 2626 . . . . . 6 (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
3 eqid 2626 . . . . . 6 (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))
4 zncyg.y . . . . . 6 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5 zndvds.2 . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
62, 3, 4, 5znzrhval 19809 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿𝐵) = [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
763adant2 1078 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿𝐵) = [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
82, 3, 4, 5znzrhval 19809 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿𝐴) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
983adant3 1079 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿𝐴) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
107, 9eqeq12d 2641 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐵) = (𝐿𝐴) ↔ [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
11 zringring 19735 . . . . . 6 ring ∈ Ring
12 nn0z 11345 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
13123ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1413snssd 4314 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑁} ⊆ ℤ)
15 zringbas 19738 . . . . . . . 8 ℤ = (Base‘ℤring)
16 eqid 2626 . . . . . . . 8 (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
172, 15, 16rspcl 19136 . . . . . . 7 ((ℤring ∈ Ring ∧ {𝑁} ⊆ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
1811, 14, 17sylancr 694 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
1916lidlsubg 19129 . . . . . 6 ((ℤring ∈ Ring ∧ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring)) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring))
2011, 18, 19sylancr 694 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring))
2115, 3eqger 17560 . . . . 5 (((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring) → (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) Er ℤ)
2220, 21syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) Er ℤ)
23 simp3 1061 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
2422, 23erth 7737 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
25 zringabl 19736 . . . . 5 ring ∈ Abel
2615, 16lidlss 19124 . . . . . 6 (((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ)
2718, 26syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ)
28 eqid 2626 . . . . . 6 (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
2915, 28, 3eqgabl 18156 . . . . 5 ((ℤring ∈ Abel ∧ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
3025, 27, 29sylancr 694 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
31 simp2 1060 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
3223, 31jca 554 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
3332biantrurd 529 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
34 df-3an 1038 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) ↔ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
3533, 34syl6bbr 278 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
36 zsubrg 19713 . . . . . . . . 9 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
37 subrgsubg 18702 . . . . . . . . 9 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
3836, 37mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
39 cnfldsub 19688 . . . . . . . . 9 − = (-g‘ℂfld)
40 df-zring 19733 . . . . . . . . 9 ring = (ℂflds ℤ)
4139, 40, 28subgsub 17522 . . . . . . . 8 ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) = (𝐴(-g‘ℤring)𝐵))
4238, 41syld3an1 1369 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) = (𝐴(-g‘ℤring)𝐵))
4342eqcomd 2632 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) = (𝐴𝐵))
44 dvdsrzring 19745 . . . . . . . 8 ∥ = (∥r‘ℤring)
4515, 2, 44rspsn 19168 . . . . . . 7 ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥})
4611, 13, 45sylancr 694 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥})
4743, 46eleq12d 2698 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ (𝐴𝐵) ∈ {𝑥𝑁𝑥}))
48 ovex 6633 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ∈ V
49 breq2 4622 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐴𝐵) → (𝑁𝑥𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
5048, 49elab 3338 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∈ {𝑥𝑁𝑥} ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵))
5147, 50syl6bb 276 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
5230, 35, 513bitr2d 296 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
5310, 24, 523bitr2d 296 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐵) = (𝐿𝐴) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
541, 53syl5bb 272 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = (𝐿𝐵) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  {cab 2612  wss 3560  {csn 4153   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605   Er wer 7685  [cec 7686  cmin 10211  0cn0 11237  cz 11322  cdvds 14902  -gcsg 17340  SubGrpcsubg 17504   ~QG cqg 17506  Abelcabl 18110  Ringcrg 18463  SubRingcsubrg 18692  LIdealclidl 19084  RSpancrsp 19085  fldccnfld 19660  ringzring 19732  ℤRHomczrh 19762  ℤ/nczn 19765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-ec 7690  df-qs 7694  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12266  df-seq 12739  df-dvds 14903  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-0g 16018  df-imas 16084  df-qus 16085  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mhm 17251  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-mulg 17457  df-subg 17507  df-nsg 17508  df-eqg 17509  df-ghm 17574  df-cmn 18111  df-abl 18112  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-cring 18466  df-oppr 18539  df-dvdsr 18557  df-rnghom 18631  df-subrg 18694  df-lmod 18781  df-lss 18847  df-lsp 18886  df-sra 19086  df-rgmod 19087  df-lidl 19088  df-rsp 19089  df-2idl 19146  df-cnfld 19661  df-zring 19733  df-zrh 19766  df-zn 19769
This theorem is referenced by:  zndvds0  19813  znf1o  19814  znunit  19826  cygznlem1  19829  lgsqrlem1  24966  lgsqrlem2  24967  lgsqrlem4  24969  lgsdchrval  24974  lgseisenlem3  24997  lgseisenlem4  24998  dchrisumlem1  25073  dirith  25113
  Copyright terms: Public domain W3C validator