Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zndvds0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zndvds0 19831
 Description: Special case of zndvds 19830 when one argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zncyg.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
zndvds.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
zndvds0.3 0 = (0g𝑌)
Assertion
Ref Expression
zndvds0 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = 0𝑁𝐴))

Proof of Theorem zndvds0
StepHypRef Expression
1 0z 11340 . . 3 0 ∈ ℤ
2 zncyg.y . . . 4 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 zndvds.2 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
42, 3zndvds 19830 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = (𝐿‘0) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 0)))
51, 4mp3an3 1410 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = (𝐿‘0) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 0)))
62zncrng 19825 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ CRing)
8 crngring 18490 . . . . 5 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
93zrhrhm 19792 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
107, 8, 93syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
11 rhmghm 18657 . . . 4 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌))
12 zring0 19760 . . . . 5 0 = (0g‘ℤring)
13 zndvds0.3 . . . . 5 0 = (0g𝑌)
1412, 13ghmid 17598 . . . 4 (𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌) → (𝐿‘0) = 0 )
1510, 11, 143syl 18 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘0) = 0 )
1615eqeq2d 2631 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = (𝐿‘0) ↔ (𝐿𝐴) = 0 ))
17 simpr 477 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
1817zcnd 11435 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1918subid1d 10333 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
2019breq2d 4630 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝐴 − 0) ↔ 𝑁𝐴))
215, 16, 203bitr3d 298 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = 0𝑁𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4618  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9888   − cmin 10218  ℕ0cn0 11244  ℤcz 11329   ∥ cdvds 14918  0gc0g 16032   GrpHom cghm 17589  Ringcrg 18479  CRingccrg 18480   RingHom crh 18644  ℤringzring 19750  ℤRHomczrh 19780  ℤ/nℤczn 19783 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-addf 9967  ax-mulf 9968 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-ec 7696  df-qs 7700  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-fz 12277  df-seq 12750  df-dvds 14919  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-0g 16034  df-imas 16100  df-qus 16101  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-mulg 17473  df-subg 17523  df-nsg 17524  df-eqg 17525  df-ghm 17590  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-cring 18482  df-oppr 18555  df-dvdsr 18573  df-rnghom 18647  df-subrg 18710  df-lmod 18797  df-lss 18865  df-lsp 18904  df-sra 19104  df-rgmod 19105  df-lidl 19106  df-rsp 19107  df-2idl 19164  df-cnfld 19679  df-zring 19751  df-zrh 19784  df-zn 19787 This theorem is referenced by:  znfld  19841  znidomb  19842  znchr  19843  znrrg  19846  lgseisenlem3  25019
 Copyright terms: Public domain W3C validator