MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zndvds0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zndvds0 19831
Description: Special case of zndvds 19830 when one argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zncyg.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
zndvds.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
zndvds0.3 0 = (0g𝑌)
Assertion
Ref Expression
zndvds0 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = 0𝑁𝐴))

Proof of Theorem zndvds0
StepHypRef Expression
1 0z 11340 . . 3 0 ∈ ℤ
2 zncyg.y . . . 4 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 zndvds.2 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
42, 3zndvds 19830 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = (𝐿‘0) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 0)))
51, 4mp3an3 1410 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = (𝐿‘0) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 0)))
62zncrng 19825 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ CRing)
8 crngring 18490 . . . . 5 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
93zrhrhm 19792 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
107, 8, 93syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
11 rhmghm 18657 . . . 4 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌))
12 zring0 19760 . . . . 5 0 = (0g‘ℤring)
13 zndvds0.3 . . . . 5 0 = (0g𝑌)
1412, 13ghmid 17598 . . . 4 (𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌) → (𝐿‘0) = 0 )
1510, 11, 143syl 18 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘0) = 0 )
1615eqeq2d 2631 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = (𝐿‘0) ↔ (𝐿𝐴) = 0 ))
17 simpr 477 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
1817zcnd 11435 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1918subid1d 10333 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
2019breq2d 4630 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝐴 − 0) ↔ 𝑁𝐴))
215, 16, 203bitr3d 298 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = 0𝑁𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9888  cmin 10218  0cn0 11244  cz 11329  cdvds 14918  0gc0g 16032   GrpHom cghm 17589  Ringcrg 18479  CRingccrg 18480   RingHom crh 18644  ringzring 19750  ℤRHomczrh 19780  ℤ/nczn 19783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-ec 7696  df-qs 7700  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-fz 12277  df-seq 12750  df-dvds 14919  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-0g 16034  df-imas 16100  df-qus 16101  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-mulg 17473  df-subg 17523  df-nsg 17524  df-eqg 17525  df-ghm 17590  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-cring 18482  df-oppr 18555  df-dvdsr 18573  df-rnghom 18647  df-subrg 18710  df-lmod 18797  df-lss 18865  df-lsp 18904  df-sra 19104  df-rgmod 19105  df-lidl 19106  df-rsp 19107  df-2idl 19164  df-cnfld 19679  df-zring 19751  df-zrh 19784  df-zn 19787
This theorem is referenced by:  znfld  19841  znidomb  19842  znchr  19843  znrrg  19846  lgseisenlem3  25019
  Copyright terms: Public domain W3C validator