MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znegcl 11359
Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
znegcl (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl
StepHypRef Expression
1 elz 11326 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 negeq 10220 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3 neg0 10274 . . . . . 6 -0 = 0
42, 3syl6eq 2671 . . . . 5 (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5 0z 11335 . . . . 5 0 ∈ ℤ
64, 5syl6eqel 2706 . . . 4 (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7 nnnegz 11327 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8 nnz 11346 . . . 4 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
96, 7, 83jaoi 1388 . . 3 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
109adantl 482 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
111, 10sylbi 207 1 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3o 1035   = wceq 1480  wcel 1987  cr 9882  0cc0 9883  -cneg 10214  cn 10967  cz 11324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-z 11325
This theorem is referenced by:  znegclb  11361  nn0negz  11362  zsubcl  11366  zeo  11410  zindd  11425  znegcld  11431  zriotaneg  11438  uzneg  11653  zmax  11732  rebtwnz  11734  qnegcl  11752  fzsubel  12322  fzosubel  12470  ceilid  12593  modcyc2  12649  expsub  12851  seqshft  13762  climshft  14244  znnenlem  14868  negdvdsb  14925  dvdsnegb  14926  summodnegmod  14939  dvdssub  14953  odd2np1  14992  divalglem6  15048  bitscmp  15087  gcdneg  15170  neggcd  15171  gcdaddmlem  15172  gcdabs  15177  lcmneg  15243  neglcm  15244  lcmabs  15245  mulgaddcomlem  17487  mulgneg2  17499  mulgsubdir  17506  cycsubgcl  17544  zaddablx  18199  cyggeninv  18209  zsubrg  19721  zringmulg  19748  zringinvg  19757  aaliou3lem9  24016  sinperlem  24143  wilthlem3  24703  basellem3  24716  basellem4  24717  basellem8  24721  basellem9  24722  lgsneg  24953  lgsdir2lem4  24960  lgsdir2lem5  24961  ex-fl  27165  ex-mod  27167  pell1234qrdich  36926  rmxyneg  36986  monotoddzzfi  37008  monotoddzz  37009  oddcomabszz  37010  jm2.24  37031  acongtr  37046  fzneg  37050  jm2.26a  37068  cosknegpi  39401  enege  40873  onego  40874  0nodd  41114  2zrngagrp  41247  zlmodzxzequap  41592  flsubz  41616  digvalnn0  41701  dig0  41708  dig2nn0  41713
  Copyright terms: Public domain W3C validator