Theorem znegcl 12020

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 11986	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 10880	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 10934	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	syl6eq 2874	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 11995	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2923	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 11987	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12007	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1423	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 507	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1082   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ℝcr 10538  0cc0 10539  -cneg 10873  ℕcn 11640  ℤcz 11984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-z 11985

This theorem is referenced by:  znegclb  12022  nn0negz  12023  zsubcl  12027  zeo  12071  zindd  12086  znegcld  12092  zriotaneg  12099  uzneg  12266  zmax  12348  rebtwnz  12350  qnegcl  12368  fzsubel  12946  fzosubel  13099  ceilid  13222  modcyc2  13278  expsub  13480  seqshft  14446  climshft  14935  negdvdsb  15628  dvdsnegb  15629  summodnegmod  15642  dvdssub  15656  odd2np1  15692  divalglem6  15751  bitscmp  15789  gcdneg  15872  neggcd  15873  gcdaddmlem  15874  gcdabs  15879  lcmneg  15949  neglcm  15950  lcmabs  15951  mulgaddcomlem  18252  mulgneg2  18263  mulgsubdir  18269  cycsubgcl  18351  zaddablx  18994  cyggeninv  19004  zsubrg  20600  zringmulg  20627  zringinvg  20636  aaliou3lem9  24941  sinperlem  25068  wilthlem3  25649  basellem3  25662  basellem4  25663  basellem8  25667  basellem9  25668  lgsneg  25899  lgsdir2lem4  25906  lgsdir2lem5  25907  ex-fl  28228  ex-mod  28230  pell1234qrdich  39465  rmxyneg  39524  monotoddzzfi  39546  monotoddzz  39547  oddcomabszz  39548  jm2.24  39567  acongtr  39582  fzneg  39586  jm2.26a  39604  cosknegpi  42157  enege  43817  onego  43818  0nodd  44084  2zrngagrp  44221  zlmodzxzequap  44561  flsubz  44584  digvalnn0  44666  dig0  44673  dig2nn0  44678