MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znegcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znegcld 11522
Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
zred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
znegcld (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 znegcl 11450 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  -cneg 10305  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-z 11416
This theorem is referenced by:  znnn0nn  11527  zriotaneg  11529  zsupss  11815  ceicl  12682  modnegd  12765  expaddzlem  12943  climshft2  14357  fsumshftm  14557  eftlub  14883  dvdsadd2b  15075  bitscmp  15207  bitsf1  15215  bitsres  15242  modgcd  15300  pcneg  15625  gznegcl  15686  gzcjcl  15687  4sqlem10  15698  mulgdirlem  17619  mulgdir  17620  mulgmodid  17628  subgmulg  17655  zringlpirlem3  19882  aannenlem1  24128  geolim3  24139  aaliou3lem1  24142  aaliou3lem2  24143  aaliou3lem3  24144  aaliou3lem5  24147  aaliou3lem6  24148  aaliou3lem7  24149  ulmshft  24189  sineq0  24318  wilthlem1  24839  lgseisenlem2  25146  2sqlem4  25191  padicabvcxp  25366  numdenneg  29691  archirngz  29871  archiabllem1b  29874  archiabllem2c  29877  mdetlap  30026  qqhval2lem  30153  breprexplemc  30838  knoppndvlem1  32628  knoppndvlem2  32629  knoppndvlem7  32634  knoppndvlem14  32641  knoppndvlem16  32643  knoppndvlem17  32644  knoppndvlem19  32646  knoppndvlem21  32648  ltflcei  33527  cntotbnd  33725  pellexlem5  37714  pell1234qrreccl  37735  pellfund14  37779  congsub  37854  acongeq  37867  dvdsacongtr  37868  jm2.19  37877  jm2.25  37883  jm2.26lem3  37885  dvradcnv2  38863  binomcxplemnotnn0  38872  sineq0ALT  39487  fourierdlem41  40683  fourierdlem48  40689  fourierdlem49  40690  fourierdlem64  40705  fourierdlem89  40730  fourierdlem91  40732  fourierdlem97  40738  fourierdlem103  40744  etransclem9  40778  etransclem35  40804  etransclem41  40810  etransclem47  40816
  Copyright terms: Public domain W3C validator