Theorem znegcld 12092

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12020	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  -cneg 10873  ℤcz 11984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-z 11985

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12097  zriotaneg  12099  zsupss  12340  ceicl  13214  modnegd  13297  expaddzlem  13475  climshft2  14941  fsumshftm  15138  eftlub  15464  dvdsadd2b  15658  bitscmp  15789  bitsf1  15797  bitsres  15824  modgcd  15882  pcneg  16212  gznegcl  16273  gzcjcl  16274  4sqlem10  16285  mulgdirlem  18260  mulgdir  18261  mulgmodid  18268  subgmulg  18295  zringlpirlem3  20635  aannenlem1  24919  geolim3  24930  aaliou3lem1  24933  aaliou3lem2  24934  aaliou3lem3  24935  aaliou3lem5  24938  aaliou3lem6  24939  aaliou3lem7  24940  ulmshft  24980  sineq0  25111  wilthlem1  25647  lgseisenlem2  25954  2sqlem4  25999  padicabvcxp  26210  numdenneg  30535  archirngz  30820  archiabllem1b  30823  archiabllem2c  30826  mdetlap  31099  qqhval2lem  31224  breprexplemc  31905  knoppndvlem1  33853  knoppndvlem2  33854  knoppndvlem7  33859  knoppndvlem14  33866  knoppndvlem16  33868  knoppndvlem17  33869  knoppndvlem19  33871  knoppndvlem21  33873  ltflcei  34882  cntotbnd  35076  pellexlem5  39437  pell1234qrreccl  39458  pellfund14  39502  congsub  39574  acongeq  39587  dvdsacongtr  39588  jm2.19  39597  jm2.25  39603  jm2.26lem3  39605  dvradcnv2  40686  binomcxplemnotnn0  40695  sineq0ALT  41278  fourierdlem41  42440  fourierdlem48  42446  fourierdlem49  42447  fourierdlem64  42462  fourierdlem89  42487  fourierdlem91  42489  fourierdlem97  42495  fourierdlem103  42501  etransclem9  42535  etransclem35  42561  etransclem41  42567  etransclem47  42573