MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znegcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znegcld 11318
Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
zred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
znegcld (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 znegcl 11247 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  -cneg 10118  cz 11212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-z 11213
This theorem is referenced by:  znnn0nn  11323  zriotaneg  11325  zsupss  11611  ceicl  12461  modnegd  12544  expaddzlem  12722  climshft2  14109  fsumshftm  14303  eftlub  14626  dvdsadd2b  14814  bitscmp  14946  bitsf1  14954  bitsres  14981  modgcd  15039  pcneg  15364  gznegcl  15425  gzcjcl  15426  4sqlem10  15437  mulgdirlem  17343  mulgdir  17344  mulgmodid  17352  subgmulg  17379  zringlpirlem3  19601  aannenlem1  23831  geolim3  23842  aaliou3lem1  23845  aaliou3lem2  23846  aaliou3lem3  23847  aaliou3lem5  23850  aaliou3lem6  23851  aaliou3lem7  23852  ulmshft  23892  sineq0  24021  wilthlem1  24538  lgseisenlem2  24845  2sqlem4  24890  padicabvcxp  25065  numdenneg  28743  archirngz  28867  archiabllem1b  28870  archiabllem2c  28873  mdetlap  29019  qqhval2lem  29146  knoppndvlem1  31466  knoppndvlem2  31467  knoppndvlem7  31472  knoppndvlem14  31479  knoppndvlem16  31481  knoppndvlem17  31482  knoppndvlem19  31484  knoppndvlem21  31486  ltflcei  32350  cntotbnd  32548  pellexlem5  36198  pell1234qrreccl  36219  pellfund14  36263  congsub  36338  acongeq  36351  dvdsacongtr  36352  jm2.19  36361  jm2.25  36367  jm2.26lem3  36369  dvradcnv2  37351  binomcxplemnotnn0  37360  sineq0ALT  37978  fourierdlem41  38824  fourierdlem48  38830  fourierdlem49  38831  fourierdlem64  38846  fourierdlem89  38871  fourierdlem91  38873  fourierdlem97  38879  fourierdlem103  38885  etransclem9  38919  etransclem35  38945  etransclem41  38951  etransclem47  38957
  Copyright terms: Public domain W3C validator