MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znfld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znfld 20635
Description: The ℤ/n structure is a finite field when 𝑛 is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zntos.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
znfld (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)

Proof of Theorem znfld
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 16006 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
2 nnnn0 11892 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 zntos.y . . . . 5 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
54zncrng 20619 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
63, 5syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ CRing)
7 crngring 19237 . . . . . 6 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
81, 2, 5, 74syl 19 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Ring)
9 hash2 13754 . . . . . . 7 (♯‘2o) = 2
10 prmuz2 16028 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
11 eluzle 12244 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑁)
13 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
144, 13znhash 20633 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
151, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℙ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
1612, 15breqtrrd 5085 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℙ → 2 ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
179, 16eqbrtrid 5092 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℙ → (♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
18 2onn 8255 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
19 nnfi 8699 . . . . . . . 8 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 2o ∈ Fin
21 fvex 6676 . . . . . . 7 (Base‘𝑌) ∈ V
22 hashdom 13728 . . . . . . 7 ((2o ∈ Fin ∧ (Base‘𝑌) ∈ V) → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
2320, 21, 22mp2an 688 . . . . . 6 ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌))
2417, 23sylib 219 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℙ → 2o ≼ (Base‘𝑌))
2513isnzr2 19964 . . . . 5 (𝑌 ∈ NzRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
268, 24, 25sylanbrc 583 . . . 4 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ NzRing)
27 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
284, 13, 27znzrhfo 20622 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
293, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
30 foelrn 6864 . . . . . . . 8 (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
31 foelrn 6864 . . . . . . . 8 (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤))
3230, 31anim12dan 618 . . . . . . 7 (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
3329, 32sylan 580 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
34 reeanv 3365 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) ↔ (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
35 euclemma 16045 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤) ↔ (𝑁𝑧𝑁𝑤)))
36353expb 1112 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤) ↔ (𝑁𝑧𝑁𝑤)))
378adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑌 ∈ Ring)
3827zrhrhm 20587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
40 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℤ)
41 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑤 ∈ ℤ)
42 zringbas 20551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ = (Base‘ℤring)
43 zringmulr 20554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 · = (.r‘ℤring)
44 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑌) = (.r𝑌)
4542, 43, 44rhmmul 19408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
4639, 40, 41, 45syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
4746eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌)))
48 zmulcl 12019 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℤ)
49 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝑌) = (0g𝑌)
504, 27, 49zndvds0 20625 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑧 · 𝑤) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
513, 48, 50syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
5247, 51bitr3d 282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
534, 27, 49zndvds0 20625 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑧))
543, 40, 53syl2an2r 681 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑧))
554, 27, 49zndvds0 20625 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑤))
563, 41, 55syl2an2r 681 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑤))
5754, 56orbi12d 912 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌)) ↔ (𝑁𝑧𝑁𝑤)))
5836, 52, 573bitr4d 312 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌))))
5958biimpd 230 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌))))
60 oveq12 7154 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → (𝑥(.r𝑌)𝑦) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
6160eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌)))
62 eqeq1 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (𝑥 = (0g𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌)))
6362orbi1d 910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → ((𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌))))
64 eqeq1 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) → (𝑦 = (0g𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌)))
6564orbi2d 909 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌))))
6663, 65sylan9bb 510 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌))))
6761, 66imbi12d 346 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → (((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌))) ↔ ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌)))))
6859, 67syl5ibrcom 248 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)))))
6968rexlimdvva 3291 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℙ → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)))))
7034, 69syl5bir 244 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℙ → ((∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)))))
7170imp 407 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤))) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌))))
7233, 71syldan 591 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌))))
7372ralrimivva 3188 . . . 4 (𝑁 ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌))))
7413, 44, 49isdomn 19995 . . . 4 (𝑌 ∈ Domn ↔ (𝑌 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)))))
7526, 73, 74sylanbrc 583 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Domn)
76 isidom 20005 . . 3 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
776, 75, 76sylanbrc 583 . 2 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ IDomn)
784, 13znfi 20634 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
791, 78syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
8013fiidomfld 20009 . . 3 ((Base‘𝑌) ∈ Fin → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑌 ∈ Field))
8179, 80syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℙ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑌 ∈ Field))
8277, 81mpbid 233 1 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492   class class class wbr 5057  ontowfo 6346  cfv 6348  (class class class)co 7145  ωcom 7569  2oc2o 8085  cdom 8495  Fincfn 8497   · cmul 10530  cle 10664  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  chash 13678  cdvds 15595  cprime 16003  Basecbs 16471  .rcmulr 16554  0gc0g 16701  Ringcrg 19226  CRingccrg 19227   RingHom crh 19393  Fieldcfield 19432  NzRingcnzr 19958  Domncdomn 19981  IDomncidom 19982  ringzring 20545  ℤRHomczrh 20575  ℤ/nczn 20578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-imas 16769  df-qus 16770  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-nsg 18215  df-eqg 18216  df-ghm 18294  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-field 19434  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-lidl 19875  df-rsp 19876  df-2idl 19933  df-nzr 19959  df-rlreg 19984  df-domn 19985  df-idom 19986  df-cnfld 20474  df-zring 20546  df-zrh 20579  df-zn 20582
This theorem is referenced by:  znidomb  20636  lgsqrlem1  25849  lgsqrlem2  25850  lgsqrlem3  25851  lgsqrlem4  25852  lgseisenlem3  25880  lgseisenlem4  25881
  Copyright terms: Public domain W3C validator