MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znfld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znfld 20111
Description: The ℤ/n structure is a finite field when 𝑛 is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zntos.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
znfld (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)

Proof of Theorem znfld
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 15590 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
2 nnnn0 11491 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 zntos.y . . . . 5 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
54zncrng 20095 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
63, 5syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ CRing)
7 crngring 18758 . . . . . 6 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
81, 2, 5, 74syl 19 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Ring)
9 hash2 13385 . . . . . . 7 (♯‘2𝑜) = 2
10 prmuz2 15610 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
11 eluzle 11892 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑁)
13 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
144, 13znhash 20109 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
151, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℙ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
1612, 15breqtrrd 4832 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℙ → 2 ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
179, 16syl5eqbr 4839 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℙ → (♯‘2𝑜) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
18 2onn 7889 . . . . . . . 8 2𝑜 ∈ ω
19 nnfi 8318 . . . . . . . 8 (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ∈ Fin)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ Fin
21 fvex 6362 . . . . . . 7 (Base‘𝑌) ∈ V
22 hashdom 13360 . . . . . . 7 ((2𝑜 ∈ Fin ∧ (Base‘𝑌) ∈ V) → ((♯‘2𝑜) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2𝑜 ≼ (Base‘𝑌)))
2320, 21, 22mp2an 710 . . . . . 6 ((♯‘2𝑜) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2𝑜 ≼ (Base‘𝑌))
2417, 23sylib 208 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℙ → 2𝑜 ≼ (Base‘𝑌))
2513isnzr2 19465 . . . . 5 (𝑌 ∈ NzRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ 2𝑜 ≼ (Base‘𝑌)))
268, 24, 25sylanbrc 701 . . . 4 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ NzRing)
27 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
284, 13, 27znzrhfo 20098 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
293, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
30 foelrn 6541 . . . . . . . 8 (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
31 foelrn 6541 . . . . . . . 8 (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤))
3230, 31anim12dan 918 . . . . . . 7 (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
3329, 32sylan 489 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
34 reeanv 3245 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) ↔ (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
35 euclemma 15627 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤) ↔ (𝑁𝑧𝑁𝑤)))
36353expb 1114 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤) ↔ (𝑁𝑧𝑁𝑤)))
378adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑌 ∈ Ring)
3827zrhrhm 20062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
40 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℤ)
41 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑤 ∈ ℤ)
42 zringbas 20026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ = (Base‘ℤring)
43 zringmulr 20029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 · = (.r‘ℤring)
44 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑌) = (.r𝑌)
4542, 43, 44rhmmul 18929 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
4639, 40, 41, 45syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
4746eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌)))
48 zmulcl 11618 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℤ)
49 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝑌) = (0g𝑌)
504, 27, 49zndvds0 20101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑧 · 𝑤) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
513, 48, 50syl2an 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
5247, 51bitr3d 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
533adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
544, 27, 49zndvds0 20101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑧))
5553, 40, 54syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑧))
564, 27, 49zndvds0 20101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑤))
5753, 41, 56syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑤))
5855, 57orbi12d 748 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌)) ↔ (𝑁𝑧𝑁𝑤)))
5936, 52, 583bitr4d 300 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌))))
6059biimpd 219 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌))))
61 oveq12 6822 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → (𝑥(.r𝑌)𝑦) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
6261eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌)))
63 eqeq1 2764 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (𝑥 = (0g𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌)))
6463orbi1d 741 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → ((𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌))))
65 eqeq1 2764 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) → (𝑦 = (0g𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌)))
6665orbi2d 740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌))))
6764, 66sylan9bb 738 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌))))
6862, 67imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → (((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌))) ↔ ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌)))))
6960, 68syl5ibrcom 237 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)))))
7069rexlimdvva 3176 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℙ → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)))))
7134, 70syl5bir 233 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℙ → ((∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)))))
7271imp 444 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤))) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌))))
7333, 72syldan 488 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌))))
7473ralrimivva 3109 . . . 4 (𝑁 ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌))))
7513, 44, 49isdomn 19496 . . . 4 (𝑌 ∈ Domn ↔ (𝑌 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)))))
7626, 74, 75sylanbrc 701 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Domn)
77 isidom 19506 . . 3 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
786, 76, 77sylanbrc 701 . 2 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ IDomn)
794, 13znfi 20110 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
801, 79syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
8113fiidomfld 19510 . . 3 ((Base‘𝑌) ∈ Fin → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑌 ∈ Field))
8280, 81syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℙ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑌 ∈ Field))
8378, 82mpbid 222 1 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340   class class class wbr 4804  ontowfo 6047  cfv 6049  (class class class)co 6813  ωcom 7230  2𝑜c2o 7723  cdom 8119  Fincfn 8121   · cmul 10133  cle 10267  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  chash 13311  cdvds 15182  cprime 15587  Basecbs 16059  .rcmulr 16144  0gc0g 16302  Ringcrg 18747  CRingccrg 18748   RingHom crh 18914  Fieldcfield 18950  NzRingcnzr 19459  Domncdomn 19482  IDomncidom 19483  ringzring 20020  ℤRHomczrh 20050  ℤ/nczn 20053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-ec 7913  df-qs 7917  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-prm 15588  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-0g 16304  df-imas 16370  df-qus 16371  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-nsg 17793  df-eqg 17794  df-ghm 17859  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-rnghom 18917  df-drng 18951  df-field 18952  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-lidl 19376  df-rsp 19377  df-2idl 19434  df-nzr 19460  df-rlreg 19485  df-domn 19486  df-idom 19487  df-cnfld 19949  df-zring 20021  df-zrh 20054  df-zn 20057
This theorem is referenced by:  znidomb  20112  lgsqrlem1  25270  lgsqrlem2  25271  lgsqrlem3  25272  lgsqrlem4  25273  lgseisenlem3  25301  lgseisenlem4  25302
  Copyright terms: Public domain W3C validator