MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znle 19798
Description: The value of the ℤ/n structure. It is defined as the quotient ring ℤ / 𝑛, with an "artificial" ordering added to make it a Toset. (In other words, ℤ/n is a ring with an order , but it is not an ordered ring , which as a term implies that the order is compatible with the ring operations in some way.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znval.s 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval.u 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znval.f 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊)
znval.w 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle.l = (le‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znle (𝑁 ∈ ℕ0 = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem znle
StepHypRef Expression
1 znval.s . . . 4 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
2 znval.u . . . 4 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
3 znval.y . . . 4 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 znval.f . . . 4 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊)
5 znval.w . . . 4 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
6 eqid 2626 . . . 4 ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)
71, 2, 3, 4, 5, 6znval 19797 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)⟩))
87fveq2d 6154 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (le‘𝑌) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)⟩)))
9 znle.l . 2 = (le‘𝑌)
10 ovex 6633 . . . 4 (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))) ∈ V
112, 10eqeltri 2700 . . 3 𝑈 ∈ V
12 fvex 6160 . . . . . . 7 (ℤRHom‘𝑈) ∈ V
1312resex 5406 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊) ∈ V
144, 13eqeltri 2700 . . . . 5 𝐹 ∈ V
15 xrex 11773 . . . . . . 7 * ∈ V
1615, 15xpex 6916 . . . . . 6 (ℝ* × ℝ*) ∈ V
17 lerelxr 10046 . . . . . 6 ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
1816, 17ssexi 4768 . . . . 5 ≤ ∈ V
1914, 18coex 7068 . . . 4 (𝐹 ∘ ≤ ) ∈ V
2014cnvex 7063 . . . 4 𝐹 ∈ V
2119, 20coex 7068 . . 3 ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ∈ V
22 pleid 15965 . . . 4 le = Slot (le‘ndx)
2322setsid 15830 . . 3 ((𝑈 ∈ V ∧ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ∈ V) → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)⟩)))
2411, 21, 23mp2an 707 . 2 ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)⟩))
258, 9, 243eqtr4g 2685 1 (𝑁 ∈ ℕ0 = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1992  Vcvv 3191  ifcif 4063  {csn 4153  cop 4159   × cxp 5077  ccnv 5078  cres 5081  ccom 5083  cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881  *cxr 10018  cle 10020  0cn0 11237  cz 11322  ..^cfzo 12403  ndxcnx 15773   sSet csts 15774  lecple 15864   /s cqus 16081   ~QG cqg 17506  RSpancrsp 19085  ringzring 19732  ℤRHomczrh 19762  ℤ/nczn 19765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12266  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-subg 17507  df-cmn 18111  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-cring 18466  df-subrg 18694  df-cnfld 19661  df-zring 19733  df-zn 19769
This theorem is referenced by:  znval2  19799  znle2  19816
  Copyright terms: Public domain W3C validator