Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znle2 19993
 Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l = (le‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znle2 (𝑁 ∈ ℕ0 = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem znle2
StepHypRef Expression
1 eqid 2692 . . 3 (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
2 eqid 2692 . . 3 (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
3 znle2.y . . 3 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 eqid 2692 . . 3 ((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) = ((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊)
5 znle2.w . . 3 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
6 znle2.l . . 3 = (le‘𝑌)
71, 2, 3, 4, 5, 6znle 19975 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 = ((((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) ∘ ≤ ) ∘ ((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊)))
81, 2, 3znzrh 19982 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (ℤRHom‘𝑌))
98reseq1d 5470 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊))
10 znle2.f . . . . 5 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
119, 10syl6eqr 2744 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) = 𝐹)
1211coeq1d 5359 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) ∘ ≤ ) = (𝐹 ∘ ≤ ))
1311cnveqd 5373 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) = 𝐹)
1412, 13coeq12d 5362 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) ∘ ≤ ) ∘ ((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊)) = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹))
157, 14eqtrd 2726 1 (𝑁 ∈ ℕ0 = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1564   ∈ wcel 2071  ifcif 4162  {csn 4253  ◡ccnv 5185   ↾ cres 5188   ∘ ccom 5190  ‘cfv 5969  (class class class)co 6733  0cc0 10017   ≤ cle 10156  ℕ0cn0 11373  ℤcz 11458  ..^cfzo 12548  lecple 16039   /s cqus 16256   ~QG cqg 17680  RSpancrsp 19262  ℤringzring 19909  ℤRHomczrh 19939  ℤ/nℤczn 19942 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-rep 4847  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094  ax-addf 10096  ax-mulf 10097 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-int 4552  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-om 7151  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-1o 7648  df-oadd 7652  df-er 7830  df-map 7944  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-fin 8044  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-nn 11102  df-2 11160  df-3 11161  df-4 11162  df-5 11163  df-6 11164  df-7 11165  df-8 11166  df-9 11167  df-n0 11374  df-z 11459  df-dec 11575  df-uz 11769  df-fz 12409  df-struct 15950  df-ndx 15951  df-slot 15952  df-base 15954  df-sets 15955  df-ress 15956  df-plusg 16045  df-mulr 16046  df-starv 16047  df-tset 16051  df-ple 16052  df-ds 16055  df-unif 16056  df-0g 16193  df-mgm 17332  df-sgrp 17374  df-mnd 17385  df-mhm 17425  df-grp 17515  df-minusg 17516  df-subg 17681  df-ghm 17748  df-cmn 18284  df-mgp 18579  df-ur 18591  df-ring 18638  df-cring 18639  df-rnghom 18806  df-subrg 18869  df-cnfld 19838  df-zring 19910  df-zrh 19943  df-zn 19946 This theorem is referenced by:  znleval  19994
 Copyright terms: Public domain W3C validator