MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znleval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znleval 20629
Description: The ordering of the ℤ/n structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l = (le‘𝑌)
znleval.x 𝑋 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znleval (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))))

Proof of Theorem znleval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 znle2.f . . . . . . 7 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
3 znle2.w . . . . . . 7 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
4 znle2.l . . . . . . 7 = (le‘𝑌)
51, 2, 3, 4znle2 20628 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹))
6 relco 6090 . . . . . . . 8 Rel ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)
7 relssdmrn 6114 . . . . . . . 8 (Rel ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹))
9 dmcoss 5835 . . . . . . . . 9 dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ dom 𝐹
10 df-rn 5559 . . . . . . . . . 10 ran 𝐹 = dom 𝐹
11 znleval.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Base‘𝑌)
121, 11, 2, 3znf1o 20626 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊1-1-onto𝑋)
13 f1ofo 6615 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑊1-1-onto𝑋𝐹:𝑊onto𝑋)
14 forn 6586 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑊onto𝑋 → ran 𝐹 = 𝑋)
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran 𝐹 = 𝑋)
1610, 15syl5eqr 2867 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → dom 𝐹 = 𝑋)
179, 16sseqtrid 4016 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ 𝑋)
18 rncoss 5836 . . . . . . . . 9 ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ ran (𝐹 ∘ ≤ )
19 rncoss 5836 . . . . . . . . . 10 ran (𝐹 ∘ ≤ ) ⊆ ran 𝐹
2019, 15sseqtrid 4016 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (𝐹 ∘ ≤ ) ⊆ 𝑋)
2118, 20sstrid 3975 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ 𝑋)
22 xpss12 5563 . . . . . . . 8 ((dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ 𝑋 ∧ ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ 𝑋) → (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
2317, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
248, 23sstrid 3975 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
255, 24eqsstrd 4002 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
2625ssbrd 5100 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 𝐵𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵))
27 brxp 5594 . . . 4 (𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋))
2826, 27syl6ib 252 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 𝐵 → (𝐴𝑋𝐵𝑋)))
2928pm4.71rd 563 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 𝐵 ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵)))
305adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹))
3130breqd 5068 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴 𝐵𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)𝐵))
32 brcog 5730 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝐹𝑥𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
3332adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝐹𝑥𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
34 eqcom 2825 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴) = 𝑥)
3512adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐹:𝑊1-1-onto𝑋)
36 f1ocnv 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑊1-1-onto𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑊)
37 f1ofn 6609 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑊𝐹 Fn 𝑋)
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐹 Fn 𝑋)
39 simprl 767 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐴𝑋)
40 fnbrfvb 6711 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Fn 𝑋𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) = 𝑥𝐴𝐹𝑥))
4138, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐴) = 𝑥𝐴𝐹𝑥))
4234, 41syl5rbb 285 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐹𝑥𝑥 = (𝐹𝐴)))
4342anbi1d 629 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐹𝑥𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (𝑥 = (𝐹𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
4443exbidv 1913 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (∃𝑥(𝐴𝐹𝑥𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 = (𝐹𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
4533, 44bitrd 280 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 = (𝐹𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
46 fvex 6676 . . . . . . 7 (𝐹𝐴) ∈ V
47 breq1 5060 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝐴) → (𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ (𝐹𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵))
4846, 47ceqsexv 3539 . . . . . 6 (∃𝑥(𝑥 = (𝐹𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (𝐹𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)
49 simprr 769 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
50 brcog 5730 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐴) ∈ V ∧ 𝐵𝑋) → ((𝐹𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ ∃𝑥((𝐹𝐴) ≤ 𝑥𝑥𝐹𝐵)))
5146, 49, 50sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ ∃𝑥((𝐹𝐴) ≤ 𝑥𝑥𝐹𝐵)))
52 fvex 6676 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐵) ∈ V
53 breq2 5061 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝐵) → ((𝐹𝐴) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)))
5452, 53ceqsexv 3539 . . . . . . . 8 (∃𝑥(𝑥 = (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≤ 𝑥) ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))
55 eqcom 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐹𝐵) ↔ (𝐹𝐵) = 𝑥)
56 fnbrfvb 6711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn 𝑋𝐵𝑋) → ((𝐹𝐵) = 𝑥𝐵𝐹𝑥))
5738, 49, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐵) = 𝑥𝐵𝐹𝑥))
5855, 57syl5bb 284 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑥 = (𝐹𝐵) ↔ 𝐵𝐹𝑥))
59 vex 3495 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
60 brcnvg 5743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵𝑋𝑥 ∈ V) → (𝐵𝐹𝑥𝑥𝐹𝐵))
6149, 59, 60sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵𝐹𝑥𝑥𝐹𝐵))
6258, 61bitrd 280 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑥 = (𝐹𝐵) ↔ 𝑥𝐹𝐵))
6362anbi1d 629 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝑥 = (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≤ 𝑥) ↔ (𝑥𝐹𝐵 ∧ (𝐹𝐴) ≤ 𝑥)))
6463biancomd 464 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝑥 = (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≤ 𝑥) ↔ ((𝐹𝐴) ≤ 𝑥𝑥𝐹𝐵)))
6564exbidv 1913 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (∃𝑥(𝑥 = (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥((𝐹𝐴) ≤ 𝑥𝑥𝐹𝐵)))
6654, 65syl5bbr 286 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵) ↔ ∃𝑥((𝐹𝐴) ≤ 𝑥𝑥𝐹𝐵)))
6751, 66bitr4d 283 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)))
6848, 67syl5bb 284 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (∃𝑥(𝑥 = (𝐹𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)))
6931, 45, 683bitrd 306 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)))
7069pm5.32da 579 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))))
71 df-3an 1081 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)))
7270, 71syl6bbr 290 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))))
7329, 72bitrd 280 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  Vcvv 3492  wss 3933  ifcif 4463   class class class wbr 5057   × cxp 5546  ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549  cres 5550  ccom 5552  Rel wrel 5553   Fn wfn 6343  ontowfo 6346  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  cle 10664  0cn0 11885  cz 11969  ..^cfzo 13021  Basecbs 16471  lecple 16560  ℤRHomczrh 20575  ℤ/nczn 20578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-dvds 15596  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-imas 16769  df-qus 16770  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-nsg 18215  df-eqg 18216  df-ghm 18294  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-rnghom 19396  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-lidl 19875  df-rsp 19876  df-2idl 19933  df-cnfld 20474  df-zring 20546  df-zrh 20579  df-zn 20582
This theorem is referenced by:  znleval2  20630
  Copyright terms: Public domain W3C validator