MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znleval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znleval 19831
Description: The ordering of the ℤ/n structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l = (le‘𝑌)
znleval.x 𝑋 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znleval (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))))

Proof of Theorem znleval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 znle2.f . . . . . . 7 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
3 znle2.w . . . . . . 7 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
4 znle2.l . . . . . . 7 = (le‘𝑌)
51, 2, 3, 4znle2 19830 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹))
6 relco 5597 . . . . . . . 8 Rel ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)
7 relssdmrn 5620 . . . . . . . 8 (Rel ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹))
9 dmcoss 5350 . . . . . . . . 9 dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ dom 𝐹
10 df-rn 5090 . . . . . . . . . 10 ran 𝐹 = dom 𝐹
11 znleval.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Base‘𝑌)
121, 11, 2, 3znf1o 19828 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊1-1-onto𝑋)
13 f1ofo 6106 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑊1-1-onto𝑋𝐹:𝑊onto𝑋)
14 forn 6080 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑊onto𝑋 → ran 𝐹 = 𝑋)
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran 𝐹 = 𝑋)
1610, 15syl5eqr 2669 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → dom 𝐹 = 𝑋)
179, 16syl5sseq 3637 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ 𝑋)
18 rncoss 5351 . . . . . . . . 9 ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ ran (𝐹 ∘ ≤ )
19 rncoss 5351 . . . . . . . . . 10 ran (𝐹 ∘ ≤ ) ⊆ ran 𝐹
2019, 15syl5sseq 3637 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (𝐹 ∘ ≤ ) ⊆ 𝑋)
2118, 20syl5ss 3598 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ 𝑋)
22 xpss12 5191 . . . . . . . 8 ((dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ 𝑋 ∧ ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ 𝑋) → (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
2317, 21, 22syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
248, 23syl5ss 3598 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
255, 24eqsstrd 3623 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
2625ssbrd 4661 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 𝐵𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵))
27 brxp 5112 . . . 4 (𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋))
2826, 27syl6ib 241 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 𝐵 → (𝐴𝑋𝐵𝑋)))
2928pm4.71rd 666 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 𝐵 ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵)))
305adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹))
3130breqd 4629 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴 𝐵𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)𝐵))
32 brcog 5253 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝐹𝑥𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
3332adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝐹𝑥𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
34 eqcom 2628 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴) = 𝑥)
3512adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐹:𝑊1-1-onto𝑋)
36 f1ocnv 6111 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑊1-1-onto𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑊)
37 f1ofn 6100 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑊𝐹 Fn 𝑋)
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐹 Fn 𝑋)
39 simprl 793 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐴𝑋)
40 fnbrfvb 6198 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Fn 𝑋𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) = 𝑥𝐴𝐹𝑥))
4138, 39, 40syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐴) = 𝑥𝐴𝐹𝑥))
4234, 41syl5rbb 273 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐹𝑥𝑥 = (𝐹𝐴)))
4342anbi1d 740 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐹𝑥𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (𝑥 = (𝐹𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
4443exbidv 1847 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (∃𝑥(𝐴𝐹𝑥𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 = (𝐹𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
4533, 44bitrd 268 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 = (𝐹𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
46 fvex 6163 . . . . . . 7 (𝐹𝐴) ∈ V
47 breq1 4621 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝐴) → (𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ (𝐹𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵))
4846, 47ceqsexv 3231 . . . . . 6 (∃𝑥(𝑥 = (𝐹𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (𝐹𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)
49 simprr 795 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
50 brcog 5253 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐴) ∈ V ∧ 𝐵𝑋) → ((𝐹𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ ∃𝑥((𝐹𝐴) ≤ 𝑥𝑥𝐹𝐵)))
5146, 49, 50sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ ∃𝑥((𝐹𝐴) ≤ 𝑥𝑥𝐹𝐵)))
52 fvex 6163 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐵) ∈ V
53 breq2 4622 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝐵) → ((𝐹𝐴) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)))
5452, 53ceqsexv 3231 . . . . . . . 8 (∃𝑥(𝑥 = (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≤ 𝑥) ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))
55 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐹𝐵) ↔ (𝐹𝐵) = 𝑥)
56 fnbrfvb 6198 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn 𝑋𝐵𝑋) → ((𝐹𝐵) = 𝑥𝐵𝐹𝑥))
5738, 49, 56syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐵) = 𝑥𝐵𝐹𝑥))
5855, 57syl5bb 272 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑥 = (𝐹𝐵) ↔ 𝐵𝐹𝑥))
59 vex 3192 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
60 brcnvg 5268 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵𝑋𝑥 ∈ V) → (𝐵𝐹𝑥𝑥𝐹𝐵))
6149, 59, 60sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵𝐹𝑥𝑥𝐹𝐵))
6258, 61bitrd 268 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑥 = (𝐹𝐵) ↔ 𝑥𝐹𝐵))
6362anbi1d 740 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝑥 = (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≤ 𝑥) ↔ (𝑥𝐹𝐵 ∧ (𝐹𝐴) ≤ 𝑥)))
64 ancom 466 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴) ≤ 𝑥𝑥𝐹𝐵) ↔ (𝑥𝐹𝐵 ∧ (𝐹𝐴) ≤ 𝑥))
6563, 64syl6bbr 278 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝑥 = (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≤ 𝑥) ↔ ((𝐹𝐴) ≤ 𝑥𝑥𝐹𝐵)))
6665exbidv 1847 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (∃𝑥(𝑥 = (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥((𝐹𝐴) ≤ 𝑥𝑥𝐹𝐵)))
6754, 66syl5bbr 274 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵) ↔ ∃𝑥((𝐹𝐴) ≤ 𝑥𝑥𝐹𝐵)))
6851, 67bitr4d 271 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)))
6948, 68syl5bb 272 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (∃𝑥(𝑥 = (𝐹𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)))
7031, 45, 693bitrd 294 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)))
7170pm5.32da 672 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))))
72 df-3an 1038 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)))
7371, 72syl6bbr 278 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))))
7429, 73bitrd 268 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  Vcvv 3189  wss 3559  ifcif 4063   class class class wbr 4618   × cxp 5077  ccnv 5078  dom cdm 5079  ran crn 5080  cres 5081  ccom 5083  Rel wrel 5084   Fn wfn 5847  ontowfo 5850  1-1-ontowf1o 5851  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9887  cle 10026  0cn0 11243  cz 11328  ..^cfzo 12413  Basecbs 15788  lecple 15876  ℤRHomczrh 19776  ℤ/nczn 19779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-ec 7696  df-qs 7700  df-map 7811  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-inf 8300  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-dvds 14915  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-0g 16030  df-imas 16096  df-qus 16097  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-mhm 17263  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-sbg 17355  df-mulg 17469  df-subg 17519  df-nsg 17520  df-eqg 17521  df-ghm 17586  df-cmn 18123  df-abl 18124  df-mgp 18418  df-ur 18430  df-ring 18477  df-cring 18478  df-oppr 18551  df-dvdsr 18569  df-rnghom 18643  df-subrg 18706  df-lmod 18793  df-lss 18861  df-lsp 18900  df-sra 19100  df-rgmod 19101  df-lidl 19102  df-rsp 19103  df-2idl 19160  df-cnfld 19675  df-zring 19747  df-zrh 19780  df-zn 19783
This theorem is referenced by:  znleval2  19832
  Copyright terms: Public domain W3C validator