Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zorn2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zorn2lem2 9270
 Description: Lemma for zorn2 9279. (Contributed by NM, 3-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem2 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem zorn2lem2
StepHypRef Expression
1 zorn2lem.3 . . . 4 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2 zorn2lem.4 . . . 4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
3 zorn2lem.5 . . . 4 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
41, 2, 3zorn2lem1 9269 . . 3 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
5 breq2 4622 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐹𝑥) → (𝑔𝑅𝑧𝑔𝑅(𝐹𝑥)))
65ralbidv 2981 . . . . 5 (𝑧 = (𝐹𝑥) → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅(𝐹𝑥)))
76, 3elrab2 3352 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅(𝐹𝑥)))
87simprbi 480 . . 3 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐷 → ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅(𝐹𝑥))
94, 8syl 17 . 2 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅(𝐹𝑥))
101tfr1 7445 . . . 4 𝐹 Fn On
11 onss 6944 . . . 4 (𝑥 ∈ On → 𝑥 ⊆ On)
12 fnfvima 6456 . . . . 5 ((𝐹 Fn On ∧ 𝑥 ⊆ On ∧ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥))
13123expia 1264 . . . 4 ((𝐹 Fn On ∧ 𝑥 ⊆ On) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥)))
1410, 11, 13sylancr 694 . . 3 (𝑥 ∈ On → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥)))
1514adantr 481 . 2 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥)))
16 breq1 4621 . . 3 (𝑔 = (𝐹𝑦) → (𝑔𝑅(𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
1716rspccv 3295 . 2 (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅(𝐹𝑥) → ((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) → (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
189, 15, 17sylsyld 61 1 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3189   ⊆ wss 3559  ∅c0 3896   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678   We wwe 5037  ran crn 5080   “ cima 5082  Oncon0 5687   Fn wfn 5847  ‘cfv 5852  ℩crio 6570  recscrecs 7419 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-wrecs 7359  df-recs 7420 This theorem is referenced by:  zorn2lem3  9271  zorn2lem6  9274
 Copyright terms: Public domain W3C validator