MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrhpsgnevpm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhpsgnevpm 19985
Description: The sign of an even permutation embedded into a ring is the multiplicative neutral element of the ring. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhpsgnevpm.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhpsgnevpm.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
zrhpsgnevpm.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
zrhpsgnevpm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((𝑌𝑆)‘𝐹) = 1 )

Proof of Theorem zrhpsgnevpm
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . . . 6 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2 zrhpsgnevpm.s . . . . . 6 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
3 eqid 2651 . . . . . 6 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
41, 2, 3psgnghm2 19975 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
5 eqid 2651 . . . . . 6 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6 eqid 2651 . . . . . 6 (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
75, 6ghmf 17711 . . . . 5 (𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑆:(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
84, 7syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → 𝑆:(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
983ad2ant2 1103 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑆:(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
101, 5evpmss 19980 . . . . 5 (pmEven‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
1110sseli 3632 . . . 4 (𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁) → 𝐹 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
12113ad2ant3 1104 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝐹 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
13 fvco3 6314 . . 3 ((𝑆:(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝑌𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆𝐹)))
149, 12, 13syl2anc 694 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((𝑌𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆𝐹)))
151, 5, 2psgnevpm 19983 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (𝑆𝐹) = 1)
16153adant1 1099 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (𝑆𝐹) = 1)
1716fveq2d 6233 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (𝑌‘(𝑆𝐹)) = (𝑌‘1))
18 zrhpsgnevpm.y . . . 4 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
19 zrhpsgnevpm.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
2018, 19zrh1 19909 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘1) = 1 )
21203ad2ant1 1102 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (𝑌‘1) = 1 )
2214, 17, 213eqtrd 2689 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((𝑌𝑆)‘𝐹) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  {cpr 4212  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  1c1 9975  -cneg 10305  Basecbs 15904  s cress 15905   GrpHom cghm 17704  SymGrpcsymg 17843  pmSgncpsgn 17955  pmEvencevpm 17956  mulGrpcmgp 18535  1rcur 18547  Ringcrg 18593  fldccnfld 19794  ℤRHomczrh 19896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-xor 1505  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335  df-splice 13336  df-reverse 13337  df-s2 13639  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-oppg 17822  df-symg 17844  df-pmtr 17908  df-psgn 17957  df-evpm 17958  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900
This theorem is referenced by:  mdet0pr  20446  mdetralt  20462
  Copyright terms: Public domain W3C validator