MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrhpsgnmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhpsgnmhm 20153
Description: Embedding of permutation signs into an arbitrary ring is a homomorphism. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
zrhpsgnmhm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝐴)) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑅)))

Proof of Theorem zrhpsgnmhm
StepHypRef Expression
1 eqid 2761 . . . 4 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
21zrhrhm 20083 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
3 eqid 2761 . . . 4 (mulGrp‘ℤring) = (mulGrp‘ℤring)
4 eqid 2761 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
53, 4rhmmhm 18945 . . 3 ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅) ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
62, 5syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
7 eqid 2761 . . . . 5 (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)
8 eqid 2761 . . . . 5 (pmSgn‘𝐴) = (pmSgn‘𝐴)
9 eqid 2761 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
107, 8, 9psgnghm2 20150 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
11 ghmmhm 17892 . . . 4 ((pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
1210, 11syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
13 eqid 2761 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
1413cnmsgnsubg 20146 . . . . . . 7 {1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
15 subgsubm 17838 . . . . . . 7 ({1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → {1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 {1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
17 cnring 19991 . . . . . . 7 fld ∈ Ring
18 cnfldbas 19973 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘ℂfld)
19 cnfld0 19993 . . . . . . . . 9 0 = (0g‘ℂfld)
20 cndrng 19998 . . . . . . . . 9 fld ∈ DivRing
2118, 19, 20drngui 18976 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
22 eqid 2761 . . . . . . . 8 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2321, 22unitsubm 18891 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
2413subsubm 17579 . . . . . . 7 ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ({1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
2517, 23, 24mp2b 10 . . . . . 6 ({1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})))
2616, 25mpbi 220 . . . . 5 ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))
2726simpli 476 . . . 4 {1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
28 1z 11620 . . . . 5 1 ∈ ℤ
29 neg1z 11626 . . . . 5 -1 ∈ ℤ
30 prssi 4499 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → {1, -1} ⊆ ℤ)
3128, 29, 30mp2an 710 . . . 4 {1, -1} ⊆ ℤ
32 zsubrg 20022 . . . . 5 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
3322subrgsubm 19016 . . . . 5 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
34 zringmpg 20063 . . . . . . 7 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
3534eqcomi 2770 . . . . . 6 (mulGrp‘ℤring) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
3635subsubm 17579 . . . . 5 (ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring)) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ ℤ)))
3732, 33, 36mp2b 10 . . . 4 ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring)) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ ℤ))
3827, 31, 37mpbir2an 993 . . 3 {1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring))
39 zex 11599 . . . . . 6 ℤ ∈ V
40 ressabs 16162 . . . . . 6 ((ℤ ∈ V ∧ {1, -1} ⊆ ℤ) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
4139, 31, 40mp2an 710 . . . . 5 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
4234oveq1i 6825 . . . . 5 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℤring) ↾s {1, -1})
4341, 42eqtr3i 2785 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℤring) ↾s {1, -1})
4443resmhm2 17582 . . 3 (((pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ {1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring))) → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘ℤring)))
4512, 38, 44sylancl 697 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘ℤring)))
46 mhmco 17584 . 2 (((ℤRHom‘𝑅) ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ∧ (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘ℤring))) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝐴)) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
476, 45, 46syl2an 495 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝐴)) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  Vcvv 3341  cdif 3713  wss 3716  {csn 4322  {cpr 4324  ccom 5271  cfv 6050  (class class class)co 6815  Fincfn 8124  cc 10147  0cc0 10149  1c1 10150  -cneg 10480  cz 11590  s cress 16081   MndHom cmhm 17555  SubMndcsubmnd 17556  SubGrpcsubg 17810   GrpHom cghm 17879  SymGrpcsymg 18018  pmSgncpsgn 18130  mulGrpcmgp 18710  Ringcrg 18768   RingHom crh 18935  SubRingcsubrg 18999  fldccnfld 19969  ringzring 20041  ℤRHomczrh 20071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-addf 10228  ax-mulf 10229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-xor 1614  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-ot 4331  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-tpos 7523  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-xnn0 11577  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-word 13506  df-lsw 13507  df-concat 13508  df-s1 13509  df-substr 13510  df-splice 13511  df-reverse 13512  df-s2 13814  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-mhm 17557  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-mulg 17763  df-subg 17813  df-ghm 17880  df-gim 17923  df-oppg 17997  df-symg 18019  df-pmtr 18083  df-psgn 18132  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-cring 18771  df-oppr 18844  df-dvdsr 18862  df-unit 18863  df-invr 18893  df-dvr 18904  df-rnghom 18938  df-drng 18972  df-subrg 19001  df-cnfld 19970  df-zring 20042  df-zrh 20075
This theorem is referenced by:  madetsumid  20490  mdetleib2  20617  mdetf  20624  mdetdiaglem  20627  mdetrlin  20631  mdetrsca  20632  mdetralt  20637  mdetunilem7  20647  mdetunilem8  20648
  Copyright terms: Public domain W3C validator