Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zrhre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhre 29198
Description: The ℤRHom homomorphism for the real number structure is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
zrhre (ℤRHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℤ)

Proof of Theorem zrhre
StepHypRef Expression
1 resubdrg 19683 . . . 4 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
21simpri 476 . . 3 fld ∈ DivRing
3 drngring 18488 . . 3 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
4 eqid 2514 . . . 4 (ℤRHom‘ℝfld) = (ℤRHom‘ℝfld)
5 eqid 2514 . . . 4 (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
6 re1r 19688 . . . 4 1 = (1r‘ℝfld)
74, 5, 6zrhval2 19586 . . 3 (ℝfld ∈ Ring → (ℤRHom‘ℝfld) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘ℝfld)1)))
82, 3, 7mp2b 10 . 2 (ℤRHom‘ℝfld) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘ℝfld)1))
9 1re 9792 . . . . 5 1 ∈ ℝ
10 remulg 19682 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
119, 10mpan2 702 . . . 4 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
12 zre 11120 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
13 ax-1rid 9759 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
1511, 14eqtrd 2548 . . 3 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = 𝑛)
1615mpteq2ia 4566 . 2 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘ℝfld)1)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ 𝑛)
17 mptresid 5265 . 2 (𝑛 ∈ ℤ ↦ 𝑛) = ( I ↾ ℤ)
188, 16, 173eqtri 2540 1 (ℤRHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1938  cmpt 4541   I cid 4842  cres 4934  cfv 5689  (class class class)co 6425  cr 9688  1c1 9690   · cmul 9694  cz 11116  .gcmg 17259  Ringcrg 18281  DivRingcdr 18481  SubRingcsubrg 18510  fldccnfld 19475  ℤRHomczrh 19577  fldcrefld 19679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-inf2 8295  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766  ax-addf 9768  ax-mulf 9769
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6832  df-1st 6932  df-2nd 6933  df-tpos 7112  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-1o 7321  df-oadd 7325  df-er 7503  df-map 7620  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-fin 7719  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-div 10432  df-nn 10774  df-2 10832  df-3 10833  df-4 10834  df-5 10835  df-6 10836  df-7 10837  df-8 10838  df-9 10839  df-10OLD 10840  df-n0 11046  df-z 11117  df-dec 11232  df-uz 11424  df-fz 12062  df-seq 12528  df-struct 15585  df-ndx 15586  df-slot 15587  df-base 15588  df-sets 15589  df-ress 15590  df-plusg 15669  df-mulr 15670  df-starv 15671  df-tset 15675  df-ple 15676  df-ds 15679  df-unif 15680  df-0g 15813  df-mgm 16961  df-sgrp 17003  df-mnd 17014  df-mhm 17054  df-grp 17144  df-minusg 17145  df-mulg 17260  df-subg 17310  df-ghm 17377  df-cmn 17930  df-mgp 18224  df-ur 18236  df-ring 18283  df-cring 18284  df-oppr 18357  df-dvdsr 18375  df-unit 18376  df-invr 18406  df-dvr 18417  df-rnghom 18449  df-drng 18483  df-subrg 18512  df-cnfld 19476  df-zring 19546  df-zrh 19581  df-refld 19680
This theorem is referenced by:  qqhre  29199
  Copyright terms: Public domain W3C validator