Theorem zrhval2 19905

Description: Alternate value of the ℤRHom homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhval2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
zrhval2.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhval2	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )))

Distinct variable groups:   1 ,𝑛   𝑅,𝑛   · ,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑛)

Proof of Theorem zrhval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2	1	zrhval 19904	. 2 ⊢ 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)
3		zrhval2.m	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝑅)
4		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
5		zrhval2.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	3, 4, 5	mulgrhm2 19895	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑅) = {(𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))})
7	6	unieqd 4478	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∪ (ℤring RingHom 𝑅) = ∪ {(𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))})
8		zex 11424	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
9	8	mptex 6527	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )) ∈ V
10	9	unisn 4483	. . 3 ⊢ ∪ {(𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))} = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
11	7, 10	syl6eq 2701	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∪ (ℤring RingHom 𝑅) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )))
12	2, 11	syl5eq 2697	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {csn 4210  ∪ cuni 4468   ↦ cmpt 4762  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℤcz 11415  ._gcmg 17587  1_rcur 18547  Ringcrg 18593   RingHom crh 18760  ℤ_ringzring 19866  ℤRHomczrh 19896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053  ax-mulf 10054

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-rnghom 18763  df-subrg 18826  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900

This theorem is referenced by:  zrhmulg  19906  zrhrhmb  19907  zncyg  19945  zrhchr  30148  zrhre  30191