MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringbas 19764
Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zringbas ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas
StepHypRef Expression
1 zsscn 11345 . 2 ℤ ⊆ ℂ
2 df-zring 19759 . . 3 ring = (ℂflds ℤ)
3 cnfldbas 19690 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
42, 3ressbas2 15871 . 2 (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
51, 4ax-mp 5 1 ℤ = (Base‘ℤring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wss 3560  cfv 5857  cc 9894  cz 11337  Basecbs 15800  fldccnfld 19686  ringzring 19758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-cnfld 19687  df-zring 19759
This theorem is referenced by:  dvdsrzring  19771  zringlpirlem1  19772  zringlpirlem3  19774  zringinvg  19775  zringunit  19776  zringndrg  19778  zringcyg  19779  prmirredlem  19781  prmirred  19783  expghm  19784  mulgghm2  19785  mulgrhm  19786  mulgrhm2  19787  zlmlmod  19811  zlmassa  19812  chrrhm  19819  domnchr  19820  znlidl  19821  znbas  19832  znzrh2  19834  znzrhfo  19836  zndvds  19838  znf1o  19840  zzngim  19841  znfld  19849  znidomb  19850  znunit  19852  znrrg  19854  cygznlem3  19858  frgpcyg  19862  zrhpsgnodpm  19878  dchrzrhmul  24905  lgsqrlem1  25005  lgsqrlem2  25006  lgsqrlem3  25007  lgsdchr  25014  lgseisenlem3  25036  lgseisenlem4  25037  dchrisum0flblem1  25131  mdetpmtr1  29713  mdetpmtr12  29715  mdetlap  29722  nmmulg  29836  cnzh  29838  rezh  29839  zrhf1ker  29843  zrhunitpreima  29846  elzrhunit  29847  qqhval2lem  29849  qqhf  29854  qqhghm  29856  qqhrhm  29857  qqhnm  29858  mzpmfp  36829  2zlidl  41252  zlmodzxzel  41451  zlmodzxzscm  41453  linevalexample  41502  zlmodzxzldeplem3  41609  zlmodzxzldep  41611  ldepsnlinclem1  41612  ldepsnlinclem2  41613
  Copyright terms: Public domain W3C validator