MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringlpirlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringlpirlem1 19751
Description: Lemma for zringlpir 19756. A nonzero ideal of integers contains some positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zringlpirlem.i (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
zringlpirlem.n0 (𝜑𝐼 ≠ {0})
Assertion
Ref Expression
zringlpirlem1 (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)

Proof of Theorem zringlpirlem1
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 791 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎𝐼)
2 eleq1 2686 . . . . . 6 ((abs‘𝑎) = 𝑎 → ((abs‘𝑎) ∈ 𝐼𝑎𝐼))
31, 2syl5ibrcom 237 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼))
4 zsubrg 19718 . . . . . . . . . . 11 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5 subrgsubg 18707 . . . . . . . . . . 11 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
7 zringlpirlem.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
8 zringbas 19743 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ = (Base‘ℤring)
9 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
108, 9lidlss 19129 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) → 𝐼 ⊆ ℤ)
117, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ⊆ ℤ)
1211sselda 3583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑎 ∈ ℤ)
13 df-zring 19738 . . . . . . . . . . 11 ring = (ℂflds ℤ)
14 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
15 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
1613, 14, 15subginv 17522 . . . . . . . . . 10 ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
176, 12, 16sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐼) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
1812zcnd 11427 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑎 ∈ ℂ)
19 cnfldneg 19691 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = -𝑎)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐼) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = -𝑎)
2117, 20eqtr3d 2657 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) = -𝑎)
22 zringring 19740 . . . . . . . . . 10 ring ∈ Ring
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐼) → ℤring ∈ Ring)
247adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
25 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑎𝐼)
269, 15lidlnegcl 19133 . . . . . . . . 9 ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑎𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ 𝐼)
2723, 24, 25, 26syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ 𝐼)
2821, 27eqeltrrd 2699 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐼) → -𝑎𝐼)
2928adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → -𝑎𝐼)
30 eleq1 2686 . . . . . 6 ((abs‘𝑎) = -𝑎 → ((abs‘𝑎) ∈ 𝐼 ↔ -𝑎𝐼))
3129, 30syl5ibrcom 237 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = -𝑎 → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼))
3212zred 11426 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑎 ∈ ℝ)
3332absord 14088 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 ∨ (abs‘𝑎) = -𝑎))
3433adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 ∨ (abs‘𝑎) = -𝑎))
353, 31, 34mpjaod 396 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼)
36 nnabscl 13999 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ)
3712, 36sylan 488 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ)
3835, 37elind 3776 . . 3 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
39 ne0i 3897 . . 3 ((abs‘𝑎) ∈ (𝐼 ∩ ℕ) → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
4038, 39syl 17 . 2 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
4122a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
42 zringlpirlem.n0 . . 3 (𝜑𝐼 ≠ {0})
43 zring0 19747 . . . 4 0 = (0g‘ℤring)
449, 43lidlnz 19147 . . 3 ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝐼 ≠ {0}) → ∃𝑎𝐼 𝑎 ≠ 0)
4541, 7, 42, 44syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → ∃𝑎𝐼 𝑎 ≠ 0)
4640, 45r19.29a 3071 1 (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  cin 3554  wss 3555  c0 3891  {csn 4148  cfv 5847  cc 9878  0cc0 9880  -cneg 10211  cn 10964  cz 11321  abscabs 13908  invgcminusg 17344  SubGrpcsubg 17509  Ringcrg 18468  SubRingcsubrg 18697  LIdealclidl 19089  fldccnfld 19665  ringzring 19737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cmn 18116  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-lidl 19093  df-cnfld 19666  df-zring 19738
This theorem is referenced by:  zringlpirlem2  19752  zringlpirlem3  19753
  Copyright terms: Public domain W3C validator