MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringlpirlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringlpirlem1 20034
Description: Lemma for zringlpir 20039. A nonzero ideal of integers contains some positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zringlpirlem.i (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
zringlpirlem.n0 (𝜑𝐼 ≠ {0})
Assertion
Ref Expression
zringlpirlem1 (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)

Proof of Theorem zringlpirlem1
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 809 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎𝐼)
2 eleq1 2827 . . . . . 6 ((abs‘𝑎) = 𝑎 → ((abs‘𝑎) ∈ 𝐼𝑎𝐼))
31, 2syl5ibrcom 237 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼))
4 zsubrg 20001 . . . . . . . . . . 11 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5 subrgsubg 18988 . . . . . . . . . . 11 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
7 zringlpirlem.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
8 zringbas 20026 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ = (Base‘ℤring)
9 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
108, 9lidlss 19412 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) → 𝐼 ⊆ ℤ)
117, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ⊆ ℤ)
1211sselda 3744 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑎 ∈ ℤ)
13 df-zring 20021 . . . . . . . . . . 11 ring = (ℂflds ℤ)
14 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
15 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
1613, 14, 15subginv 17802 . . . . . . . . . 10 ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
176, 12, 16sylancr 698 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐼) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
1812zcnd 11675 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑎 ∈ ℂ)
19 cnfldneg 19974 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = -𝑎)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐼) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = -𝑎)
2117, 20eqtr3d 2796 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) = -𝑎)
22 zringring 20023 . . . . . . . . . 10 ring ∈ Ring
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐼) → ℤring ∈ Ring)
247adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
25 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑎𝐼)
269, 15lidlnegcl 19416 . . . . . . . . 9 ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑎𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ 𝐼)
2723, 24, 25, 26syl3anc 1477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ 𝐼)
2821, 27eqeltrrd 2840 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐼) → -𝑎𝐼)
2928adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → -𝑎𝐼)
30 eleq1 2827 . . . . . 6 ((abs‘𝑎) = -𝑎 → ((abs‘𝑎) ∈ 𝐼 ↔ -𝑎𝐼))
3129, 30syl5ibrcom 237 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = -𝑎 → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼))
3212zred 11674 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑎 ∈ ℝ)
3332absord 14353 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 ∨ (abs‘𝑎) = -𝑎))
3433adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 ∨ (abs‘𝑎) = -𝑎))
353, 31, 34mpjaod 395 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼)
36 nnabscl 14264 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ)
3712, 36sylan 489 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ)
3835, 37elind 3941 . . 3 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
39 ne0i 4064 . . 3 ((abs‘𝑎) ∈ (𝐼 ∩ ℕ) → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
4038, 39syl 17 . 2 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
4122a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
42 zringlpirlem.n0 . . 3 (𝜑𝐼 ≠ {0})
43 zring0 20030 . . . 4 0 = (0g‘ℤring)
449, 43lidlnz 19430 . . 3 ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝐼 ≠ {0}) → ∃𝑎𝐼 𝑎 ≠ 0)
4541, 7, 42, 44syl3anc 1477 . 2 (𝜑 → ∃𝑎𝐼 𝑎 ≠ 0)
4640, 45r19.29a 3216 1 (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  cin 3714  wss 3715  c0 4058  {csn 4321  cfv 6049  cc 10126  0cc0 10128  -cneg 10459  cn 11212  cz 11569  abscabs 14173  invgcminusg 17624  SubGrpcsubg 17789  Ringcrg 18747  SubRingcsubrg 18978  LIdealclidl 19372  fldccnfld 19948  ringzring 20020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-subg 17792  df-cmn 18395  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-lidl 19376  df-cnfld 19949  df-zring 20021
This theorem is referenced by:  zringlpirlem2  20035  zringlpirlem3  20036
  Copyright terms: Public domain W3C validator