MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringlpirlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringlpirlem3 20561
Description: Lemma for zringlpir 20564. All elements of a nonzero ideal of integers are divided by the least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
zringlpirlem.i (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
zringlpirlem.n0 (𝜑𝐼 ≠ {0})
zringlpirlem.g 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )
zringlpirlem.x (𝜑𝑋𝐼)
Assertion
Ref Expression
zringlpirlem3 (𝜑𝐺𝑋)

Proof of Theorem zringlpirlem3
StepHypRef Expression
1 zringlpirlem.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
2 zringbas 20551 . . . . . . . . . 10 ℤ = (Base‘ℤring)
3 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
42, 3lidlss 19911 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) → 𝐼 ⊆ ℤ)
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ⊆ ℤ)
6 zringlpirlem.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐼)
75, 6sseldd 3965 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
87zred 12075 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
9 zringlpirlem.g . . . . . . . . 9 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )
10 inss2 4203 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ ℕ
11 nnuz 12269 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
1210, 11sseqtri 4000 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ‘1)
13 zringlpirlem.n0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ≠ {0})
141, 13zringlpirlem1 20559 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
15 infssuzcl 12320 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ‘1) ∧ (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
1612, 14, 15sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
179, 16eqeltrid 2914 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
1817elin2d 4173 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ ℕ)
1918nnrpd 12417 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ℝ+)
20 modlt 13236 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝐺) < 𝐺)
218, 19, 20syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) < 𝐺)
227, 18zmodcld 13248 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ0)
2322nn0red 11944 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℝ)
2418nnred 11641 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
2523, 24ltnled 10775 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 mod 𝐺) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺)))
2621, 25mpbid 233 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺))
277zcnd 12076 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
2818nncnd 11642 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
298, 18nndivred 11679 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 / 𝐺) ∈ ℝ)
3029flcld 13156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ)
3130zcnd 12076 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℂ)
3228, 31mulcld 10649 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))) ∈ ℂ)
3327, 32negsubd 10991 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
3430znegcld 12077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ)
3534zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℂ)
3635, 28mulcomd 10650 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) = (𝐺 · -(⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
3728, 31mulneg2d 11082 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺 · -(⌊‘(𝑋 / 𝐺))) = -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
3836, 37eqtrd 2853 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) = -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
3938oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) = (𝑋 + -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
40 modval 13227 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
418, 19, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
4233, 39, 413eqtr4rd 2864 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)))
43 zringring 20548 . . . . . . . . . . 11 ring ∈ Ring
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
451, 13, 9zringlpirlem2 20560 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺𝐼)
46 zringmulr 20554 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r‘ℤring)
473, 2, 46lidlmcl 19918 . . . . . . . . . . 11 (((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring)) ∧ (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ ∧ 𝐺𝐼)) → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)
4844, 1, 34, 45, 47syl22anc 834 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)
49 zringplusg 20552 . . . . . . . . . . 11 + = (+g‘ℤring)
503, 49lidlacl 19914 . . . . . . . . . 10 (((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring)) ∧ (𝑋𝐼 ∧ (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)) → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) ∈ 𝐼)
5144, 1, 6, 48, 50syl22anc 834 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) ∈ 𝐼)
5242, 51eqeltrd 2910 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ 𝐼)
5352adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ 𝐼)
54 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ)
5553, 54elind 4168 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
56 infssuzle 12319 . . . . . 6 (((𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ‘1) ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ (𝐼 ∩ ℕ)) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ≤ (𝑋 mod 𝐺))
5712, 55, 56sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ≤ (𝑋 mod 𝐺))
589, 57eqbrtrid 5092 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺))
5926, 58mtand 812 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ)
60 elnn0 11887 . . . 4 ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
6122, 60sylib 219 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
62 orel1 882 . . 3 (¬ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ → (((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0) → (𝑋 mod 𝐺) = 0))
6359, 61, 62sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = 0)
64 dvdsval3 15599 . . 3 ((𝐺 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐺𝑋 ↔ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
6518, 7, 64syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑋 ↔ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
6663, 65mpbird 258 1 (𝜑𝐺𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cin 3932  wss 3933  c0 4288  {csn 4557   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  infcinf 8893  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  cfl 13148   mod cmo 13225  cdvds 15595  Ringcrg 19226  LIdealclidl 19871  ringzring 20545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cmn 18837  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-lidl 19875  df-cnfld 20474  df-zring 20546
This theorem is referenced by:  zringlpir  20564
  Copyright terms: Public domain W3C validator