MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringlpirlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringlpirlem3 19753
Description: Lemma for zringlpir 19756. All elements of a nonzero ideal of integers are divided by the least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
zringlpirlem.i (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
zringlpirlem.n0 (𝜑𝐼 ≠ {0})
zringlpirlem.g 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )
zringlpirlem.x (𝜑𝑋𝐼)
Assertion
Ref Expression
zringlpirlem3 (𝜑𝐺𝑋)

Proof of Theorem zringlpirlem3
StepHypRef Expression
1 zringlpirlem.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
2 zringbas 19743 . . . . . . . . . 10 ℤ = (Base‘ℤring)
3 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
42, 3lidlss 19129 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) → 𝐼 ⊆ ℤ)
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ⊆ ℤ)
6 zringlpirlem.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐼)
75, 6sseldd 3584 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
87zred 11426 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
9 inss2 3812 . . . . . . . 8 (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ ℕ
10 zringlpirlem.g . . . . . . . . 9 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )
11 nnuz 11667 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
129, 11sseqtri 3616 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ‘1)
13 zringlpirlem.n0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ≠ {0})
141, 13zringlpirlem1 19751 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
15 infssuzcl 11716 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ‘1) ∧ (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
1612, 14, 15sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
1710, 16syl5eqel 2702 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
189, 17sseldi 3581 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ ℕ)
1918nnrpd 11814 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ℝ+)
20 modlt 12619 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝐺) < 𝐺)
218, 19, 20syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) < 𝐺)
227, 18zmodcld 12631 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ0)
2322nn0red 11296 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℝ)
2418nnred 10979 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
2523, 24ltnled 10128 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 mod 𝐺) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺)))
2621, 25mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺))
277zcnd 11427 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
2818nncnd 10980 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
298, 18nndivred 11013 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 / 𝐺) ∈ ℝ)
3029flcld 12539 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ)
3130zcnd 11427 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℂ)
3228, 31mulcld 10004 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))) ∈ ℂ)
3327, 32negsubd 10342 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
3430znegcld 11428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ)
3534zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℂ)
3635, 28mulcomd 10005 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) = (𝐺 · -(⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
3728, 31mulneg2d 10428 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺 · -(⌊‘(𝑋 / 𝐺))) = -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
3836, 37eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) = -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
3938oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) = (𝑋 + -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
40 modval 12610 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
418, 19, 40syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
4233, 39, 413eqtr4rd 2666 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)))
43 zringring 19740 . . . . . . . . . . 11 ring ∈ Ring
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
451, 13, 10zringlpirlem2 19752 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺𝐼)
46 zringmulr 19746 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r‘ℤring)
473, 2, 46lidlmcl 19136 . . . . . . . . . . 11 (((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring)) ∧ (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ ∧ 𝐺𝐼)) → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)
4844, 1, 34, 45, 47syl22anc 1324 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)
49 zringplusg 19744 . . . . . . . . . . 11 + = (+g‘ℤring)
503, 49lidlacl 19132 . . . . . . . . . 10 (((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring)) ∧ (𝑋𝐼 ∧ (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)) → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) ∈ 𝐼)
5144, 1, 6, 48, 50syl22anc 1324 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) ∈ 𝐼)
5242, 51eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ 𝐼)
5352adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ 𝐼)
54 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ)
5553, 54elind 3776 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
56 infssuzle 11715 . . . . . 6 (((𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ‘1) ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ (𝐼 ∩ ℕ)) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ≤ (𝑋 mod 𝐺))
5712, 55, 56sylancr 694 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ≤ (𝑋 mod 𝐺))
5810, 57syl5eqbr 4648 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺))
5926, 58mtand 690 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ)
60 elnn0 11238 . . . 4 ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
6122, 60sylib 208 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
62 orel1 397 . . 3 (¬ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ → (((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0) → (𝑋 mod 𝐺) = 0))
6359, 61, 62sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = 0)
64 dvdsval3 14911 . . 3 ((𝐺 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐺𝑋 ↔ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
6518, 7, 64syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑋 ↔ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
6663, 65mpbird 247 1 (𝜑𝐺𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cin 3554  wss 3555  c0 3891  {csn 4148   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  infcinf 8291  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  +crp 11776  cfl 12531   mod cmo 12608  cdvds 14907  Ringcrg 18468  LIdealclidl 19089  ringzring 19737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cmn 18116  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-lidl 19093  df-cnfld 19666  df-zring 19738
This theorem is referenced by:  zringlpir  19756
  Copyright terms: Public domain W3C validator