Theorem zringnm 29128

Description: The norm (function) for a ring of integers is the absolute value function (restricted to the integers). (Contributed by AV, 13-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringnm	⊢ (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)

Proof of Theorem zringnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 19491	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		ringmnd 18286	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
4		0z 11129	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		zsscn 11126	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
6		df-zring 19542	. . . 4 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
7		cnfldbas 19475	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
8		cnfld0 19493	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
9		cnfldnm 22301	. . . 4 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
10	6, 7, 8, 9	ressnm 28777	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring))
11	10	eqcomd 2520	. 2 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ))
12	3, 4, 5, 11	mp3an 1415	1 ⊢ (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)

Syntax hints:   ∧ w3a 1030   = wceq 1474   ∈ wcel 1938   ⊆ wss 3444   ↾ cres 4934  ‘cfv 5689  ℂcc 9689  0cc0 9691  ℤcz 11118  abscabs 13681  Mndcmnd 17009  Ringcrg 18277  ℂ_fldccnfld 19471  ℤ_ringzring 19541  normcnm 22093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769  ax-addf 9770  ax-mulf 9771

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-oadd 7327  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-sup 8107  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-4 10836  df-5 10837  df-6 10838  df-7 10839  df-8 10840  df-9 10841  df-n0 11048  df-z 11119  df-dec 11234  df-uz 11428  df-rp 11575  df-fz 12066  df-seq 12532  df-exp 12591  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-struct 15581  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-ress 15586  df-plusg 15665  df-mulr 15666  df-starv 15667  df-tset 15671  df-ple 15672  df-ds 15675  df-unif 15676  df-0g 15809  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-grp 17140  df-cmn 17926  df-mgp 18220  df-ring 18279  df-cring 18280  df-cnfld 19472  df-zring 19542  df-nm 22099

This theorem is referenced by:  zzsnm  29129  cnzh  29138  rezh  29139