Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zringnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringnm 30309
Description: The norm (function) for a ring of integers is the absolute value function (restricted to the integers). (Contributed by AV, 13-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zringnm (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)

Proof of Theorem zringnm
StepHypRef Expression
1 cnring 19966 . . 3 fld ∈ Ring
2 ringmnd 18752 . . 3 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
31, 2ax-mp 5 . 2 fld ∈ Mnd
4 0z 11576 . 2 0 ∈ ℤ
5 zsscn 11573 . 2 ℤ ⊆ ℂ
6 df-zring 20017 . . . 4 ring = (ℂflds ℤ)
7 cnfldbas 19948 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
8 cnfld0 19968 . . . 4 0 = (0g‘ℂfld)
9 cnfldnm 22779 . . . 4 abs = (norm‘ℂfld)
106, 7, 8, 9ressnm 29956 . . 3 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring))
1110eqcomd 2762 . 2 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ))
123, 4, 5, 11mp3an 1569 1 (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  wss 3711  cres 5264  cfv 6045  cc 10122  0cc0 10124  cz 11565  abscabs 14169  Mndcmnd 17491  Ringcrg 18743  fldccnfld 19944  ringzring 20016  normcnm 22578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202  ax-addf 10203  ax-mulf 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-sup 8509  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-rp 12022  df-fz 12516  df-seq 12992  df-exp 13051  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-starv 16154  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-unif 16163  df-0g 16300  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-grp 17622  df-cmn 18391  df-mgp 18686  df-ring 18745  df-cring 18746  df-cnfld 19945  df-zring 20017  df-nm 22584
This theorem is referenced by:  zzsnm  30310  cnzh  30319  rezh  30320
  Copyright terms: Public domain W3C validator