Theorem zringnm 30309

Description: The norm (function) for a ring of integers is the absolute value function (restricted to the integers). (Contributed by AV, 13-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringnm	⊢ (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)

Proof of Theorem zringnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 19966	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		ringmnd 18752	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
4		0z 11576	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		zsscn 11573	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
6		df-zring 20017	. . . 4 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
7		cnfldbas 19948	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
8		cnfld0 19968	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
9		cnfldnm 22779	. . . 4 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
10	6, 7, 8, 9	ressnm 29956	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring))
11	10	eqcomd 2762	. 2 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ))
12	3, 4, 5, 11	mp3an 1569	1 ⊢ (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)

Syntax hints:   ∧ w3a 1072   = wceq 1628   ∈ wcel 2135   ⊆ wss 3711   ↾ cres 5264  ‘cfv 6045  ℂcc 10122  0cc0 10124  ℤcz 11565  abscabs 14169  Mndcmnd 17491  Ringcrg 18743  ℂ_fldccnfld 19944  ℤ_ringzring 20016  normcnm 22578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202  ax-addf 10203  ax-mulf 10204

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-sup 8509  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-rp 12022  df-fz 12516  df-seq 12992  df-exp 13051  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-starv 16154  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-unif 16163  df-0g 16300  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-grp 17622  df-cmn 18391  df-mgp 18686  df-ring 18745  df-cring 18746  df-cnfld 19945  df-zring 20017  df-nm 22584

This theorem is referenced by:  zzsnm  30310  cnzh  30319  rezh  30320