Theorem zriotaneg 11325

Description: The negative of the unique integer such that 𝜑. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
zriotaneg.1	⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
zriotaneg	⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (℩𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem zriotaneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1478	. 2 ⊢ ⊤
2		nfriota1 6495	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓)
3	2	nfneg 10128	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦-(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓)
4		znegcl 11247	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
5	4	adantl 480	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → -𝑦 ∈ ℤ)
6		simpr 475	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ) → (℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ)
7	6	znegcld 11318	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ) → -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ)
8		zriotaneg.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
9		negeq 10124	. . 3 ⊢ (𝑦 = (℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) → -𝑦 = -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
10		znegcl 11247	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
11		zcn 11217	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
12		zcn 11217	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
13		negcon2 10185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
14	11, 12, 13	syl2an 492	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
15	10, 14	reuhyp 4816	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ∃!𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = -𝑦)
16	15	adantl 480	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃!𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = -𝑦)
17	3, 5, 7, 8, 9, 16	riotaxfrd 6518	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑) → (℩𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
18	1, 17	mpan 701	1 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (℩𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∧ wa 382   = wceq 1474  ⊤wtru 1475   ∈ wcel 1976  ∃!wreu 2897  ℩crio 6487  ℂcc 9790  -cneg 10118  ℤcz 11212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-z 11213

This theorem is referenced by:  dfceil2  12459