MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zriotaneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zriotaneg 11325
Description: The negative of the unique integer such that 𝜑. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
zriotaneg.1 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
zriotaneg (∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem zriotaneg
StepHypRef Expression
1 tru 1478 . 2
2 nfriota1 6495 . . . 4 𝑦(𝑦 ∈ ℤ 𝜓)
32nfneg 10128 . . 3 𝑦-(𝑦 ∈ ℤ 𝜓)
4 znegcl 11247 . . . 4 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
54adantl 480 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → -𝑦 ∈ ℤ)
6 simpr 475 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ)
76znegcld 11318 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ) → -(𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ)
8 zriotaneg.1 . . 3 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜓))
9 negeq 10124 . . 3 (𝑦 = (𝑦 ∈ ℤ 𝜓) → -𝑦 = -(𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
10 znegcl 11247 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
11 zcn 11217 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
12 zcn 11217 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
13 negcon2 10185 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
1411, 12, 13syl2an 492 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
1510, 14reuhyp 4816 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → ∃!𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = -𝑦)
1615adantl 480 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃!𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = -𝑦)
173, 5, 7, 8, 9, 16riotaxfrd 6518 . 2 ((⊤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
181, 17mpan 701 1 (∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1976  ∃!wreu 2897  crio 6487  cc 9790  -cneg 10118  cz 11212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-z 11213
This theorem is referenced by:  dfceil2  12459
  Copyright terms: Public domain W3C validator