Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsqrtelqelz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zsqrtelqelz 15390
 Description: If an integer has a rational square root, that root is must be an integer. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
zsqrtelqelz ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsqrtelqelz
StepHypRef Expression
1 qdencl 15373 . . . . 5 ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ)
21adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ)
32nnred 10979 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ)
4 1red 9999 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 1 ∈ ℝ)
52nnnn0d 11295 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ0)
65nn0ge0d 11298 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 0 ≤ (denom‘(√‘𝐴)))
7 0le1 10495 . . . 4 0 ≤ 1
87a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 0 ≤ 1)
9 sq1 12898 . . . . 5 (1↑2) = 1
109a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (1↑2) = 1)
11 zcn 11326 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
1211sqsqrtd 14112 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
1312adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
1413fveq2d 6152 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = (denom‘𝐴))
15 simpl 473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℤ)
16 zq 11738 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
1716adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℚ)
18 qden1elz 15389 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
2015, 19mpbird 247 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘𝐴) = 1)
2114, 20eqtrd 2655 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = 1)
22 densq 15388 . . . . 5 ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = ((denom‘(√‘𝐴))↑2))
2322adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = ((denom‘(√‘𝐴))↑2))
2410, 21, 233eqtr2rd 2662 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘(√‘𝐴))↑2) = (1↑2))
253, 4, 6, 8, 24sq11d 12985 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) = 1)
26 qden1elz 15389 . . 3 ((√‘𝐴) ∈ ℚ → ((denom‘(√‘𝐴)) = 1 ↔ (√‘𝐴) ∈ ℤ))
2726adantl 482 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘(√‘𝐴)) = 1 ↔ (√‘𝐴) ∈ ℤ))
2825, 27mpbid 222 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   ≤ cle 10019  ℕcn 10964  2c2 11014  ℤcz 11321  ℚcq 11732  ↑cexp 12800  √csqrt 13907  denomcdenom 15366 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-numer 15367  df-denom 15368 This theorem is referenced by:  nonsq  15391  dchrisum0flblem2  25098
 Copyright terms: Public domain W3C validator