MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsubcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zsubcld 11525
Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
zsubcld (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 zaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3 zsubcl 11457 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
41, 2, 3syl2anc 694 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  (class class class)co 6690  cmin 10304  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416
This theorem is referenced by:  eluzmn  11732  uzsubsubfz  12401  fzm1  12458  eluzgtdifelfzo  12569  ubmelm1fzo  12604  elfznelfzo  12613  intfracq  12698  modsubdir  12779  modsumfzodifsn  12783  zesq  13027  bcval5  13145  swrdfv2  13492  ccatswrd  13502  swrdccatin12lem2b  13532  cshwidxmod  13595  2cshwcshw  13617  cshwcsh2id  13620  fzomaxdiflem  14126  iseralt  14459  fsum0diaglem  14552  mptfzshft  14554  mertenslem1  14660  eirrlem  14976  fzocongeq  15093  3dvds  15099  3dvdsOLD  15100  modremain  15179  bitsfzolem  15203  bitsmod  15205  bitscmp  15207  bitsinv1lem  15210  sadaddlem  15235  bezoutlem3  15305  cncongr1  15428  hashdvds  15527  crth  15530  eulerthlem2  15534  prmdiveq  15538  modprm0  15557  pythagtriplem4  15571  pythagtriplem6  15573  pythagtriplem7  15574  pythagtriplem11  15577  pythagtriplem13  15579  pythagtriplem15  15581  pcqcl  15608  pcaddlem  15639  pcbc  15651  gzmulcl  15689  4sqlem5  15693  4sqlem8  15696  4sqlem11  15706  4sqlem12  15707  4sqlem14  15709  4sqlem16  15711  mndodconglem  18006  sylow1lem1  18059  sylow1lem3  18061  gsummptshft  18382  znf1o  19948  zdis  22666  plydivex  24097  aaliou3lem8  24145  basellem3  24854  bcmono  25047  bcmax  25048  bposlem1  25054  lgsmod  25093  lgsdirprm  25101  lgsqrlem2  25117  gausslemma2dlem0h  25133  gausslemma2dlem1a  25135  gausslemma2dlem5a  25140  lgseisenlem1  25145  lgseisenlem2  25146  lgsquadlem1  25150  2lgslem2  25165  2sqlem4  25191  2sqlem8  25196  pntrlog2bndlem1  25311  crctcshwlkn0lem3  26760  crctcshwlkn0lem4  26761  crctcshwlkn0lem6  26763  crctcshwlkn0  26769  clwlkclwwlklem2a1  26958  clwlkclwwlklem2fv1  26961  clwlkclwwlklem2a4  26963  clwlkclwwlklem2a  26964  fzspl  29678  fzsplit3  29681  ltesubnnd  29696  2sqmod  29776  archirngz  29871  smatrcl  29990  ballotlemfp1  30681  ballotlemimin  30695  ballotlemic  30696  ballotlem1c  30697  ballotlemfrceq  30718  ballotlemfrcn0  30719  signsplypnf  30755  signslema  30767  reprsuc  30821  breprexplema  30836  breprexplemc  30838  circlemeth  30846  bcprod  31750  fwddifnp1  32397  lzenom  37650  irrapxlem3  37705  pellexlem5  37714  rmspecnonsq  37789  congtr  37849  congmul  37851  congsym  37852  congrep  37857  acongrep  37864  acongeq  37867  dvdsacongtr  37868  jm2.18  37872  jm2.23  37880  jm2.20nn  37881  jm2.25  37883  jm2.26a  37884  jm2.26lem3  37885  jm2.27a  37889  jm2.27c  37891  jm3.1lem3  37903  jm3.1  37904  expdiophlem1  37905  hashnzfzclim  38838  binomcxplemnn0  38865  oddfl  39803  fmul01lt1lem2  40135  sumnnodd  40180  dvnmul  40476  dvnprodlem1  40479  dvnprodlem2  40480  stoweidlem26  40561  wallispilem4  40603  fourierdlem26  40668  fourierdlem41  40683  fourierdlem42  40684  fourierdlem48  40689  fouriersw  40766  elaa2lem  40768  etransclem3  40772  etransclem7  40776  etransclem10  40779  etransclem15  40784  etransclem20  40789  etransclem21  40790  etransclem22  40791  etransclem24  40793  etransclem25  40794  etransclem27  40796  etransclem35  40804  etransclem48  40817  2elfz2melfz  41653  goldbachthlem2  41783  pwm1geoserALT  41827  2pwp1prm  41828  altgsumbcALT  42456  digexp  42726  dignn0flhalflem1  42734
  Copyright terms: Public domain W3C validator